概率密度

對於隨機變量X的分佈函數F(x)，如果存在非負可積函數f(x)，使得對任意實數x，有

則X為連續型隨機變量，稱f(x)為X的概率密度函數，簡稱為概率密度。

單純的講概率密度沒有實際的意義，它必須有確定的有界區間為前提。可以把概率密度看成是縱座標，區間看成是橫座標，概率密度對區間的積分就是面積，而這個面積就是事件在這個區間發生的概率，所有面積的和為1。所以單獨分析一個點的概率密度是沒有任何意義的，它必須要有區間作為參考和對比。

這兩條基本性質可以用來判斷一個函數是否為某一連續型隨機變量的概率密度函數。 ^[1] 

定理：設隨機變量X具有概率密度f_X(x)，-∞<x<∞，由設函數g(x)處處可導且恆有g'(x)>0（或恆有g'(x)<0），則Y=g(X)是連續型隨機變量，其概率密度為

其中α=min(g(-∞),g(∞))，β=max(g(-∞),g(∞))，h(y)是g(x)的反函數。 ^[2] 

電子運動的狀態有波函數Ψ來描述，|Ψ|²表示電子在核外空間某處單位體積內出現的概率，即概率密度。處於不同運動狀態的電子，它們的|Ψ|各不相同，|Ψ|²當然也不同。密度大則事件發生的分佈情況多，反之亦然。若用黑點的疏密程度來表示各個電子概率密度的大小，則|Ψ|²大的地方黑點較密，其概率密度大，反之亦然。在原子核外分佈的小黑點，好像一團帶負電的雲，把原子核包圍起來，人們稱它為電子雲。

1926年，奧地利物理學家薛定諤運用偏微分方程，建立了描述微觀粒子運動的波動方程，即薛定諤方程。由薛定諤方程式的可知，對於一個質量為m，在勢能為V的勢場中運動的微粒來説，有一個與這個微粒運動相聯繫的波函數ψ，這個波函數就是薛定諤方程的一個合理的解，每一個解都與相應的常數E對應，就是微粒在這一運動狀態的能量（或能級）。|Ψ|²表示原子核外空間某點P(x,y,z)處電子出現的概率密度，即在該點處單位體積中電子出現的概率。用來表示概率密度的幾何圖形俗稱電子雲，電子雲並非眾多電子彌散在核外空間，而是電子在核外空間各處出現的概率密度的形象表現。