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概率密度函數
鎖定
在數學中,
連續型隨機變量的
概率密度函數(在不至於混淆時可以簡稱為
密度函數)是一個描述這個
隨機變量的輸出值,在某個確定的取值點附近的
可能性的函數。而隨機變量的取值落在某個區域之內的
概率則為概率密度函數在這個區域上的
積分。當概率密度函數存在的時候,
累積分佈函數是概率密度函數的積分。概率密度函數一般以小寫標記。
- 中文名
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概率密度函數
- 外文名
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probability density function
- 簡 稱
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密度函數
- 性 質
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這裏指的是一維連續隨機變量
- 常見定義
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對於一維實隨機變量X
- 學 科
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數學
概率密度函數定義
正態分佈的概率密度函數
對於一維實隨機變量
X,設它的
累積分佈函數是
,如果存在可測函數
滿足:
,那麼
X是一個
連續型隨機變量,並且
是它的概率密度函數。
連續型隨機變量的概率密度函數有如下性質:
如果概率密度函數
fX(
x)在一點
x上連續,那麼累積分佈函數可導,並且它的
導數:
由於隨機變量
X的取值 只取決於概率密度函數的積分,所以概率密度函數在個別點上的取值並不會影響隨機變量的表現。更準確來説,如果一個函數和
X的概率密度函數取值不同的點只有有限個、可數無限個或者相對於整個
實數軸來説測度為0(是一個零測集),那麼這個函數也可以是X的概率密度函數。
連續型的隨機變量取值在任意一點的概率都是0。作為推論,連續型
隨機變量在
區間上取值的概率與這個區間是開區間還是
閉區間無關。要注意的是,概率P{x=a}=0,但{X=a}並不是不可能事件。
[1]
概率密度函數性質
隨機數據的概率密度函數:表示瞬時
幅值落在某指定範圍內的概率,因此是
幅值的函數。它隨所取範圍的幅值而變化。
密度函數f(x) 具有下列性質:
概率密度函數例子
連續型均勻分佈的概率密度函數
最簡單的概率密度函數是均勻分佈的密度函數。對於一個取值在
區間[
a,
b]上的均勻分佈函數
,它的概率密度函數:
也就是説,當
x不在
區間[a,b]上的時候,
函數值等於0;而在區間[a,b]上的時候,函數值等於這個函數
。這個函數並不是完全的
連續函數,但是是
可積函數。
概率密度函數特徵函數
特徵函數與概率密度函數有一對一的關係。因此知道一個分佈的特徵函數就等同於知道一個分佈的概率密度函數。
[2]
概率密度函數應用
X的方差為
更廣泛的説,設
g為一個有界連續函數,那麼隨機變量
g(
X)的數學期望為
[1]
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- 參考資料
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1.
盛驟,謝式千,潘承毅 編.概率論與數理統計: 高等教育出版社,2008
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2.
李傑,陳建兵,張琳琳. 隨機過程的概率密度函數估計[J]. 應用力學學報,2010,(03):481-485+639-640.