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累積分佈函數

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累積分佈函數(Cumulative Distribution Function)，又叫分佈函數，是概率密度函數的積分，能完整描述一個實隨機變量X的概率分佈。一般以大寫CDF標記,，與概率密度函數probability density function（小寫pdf）相對。
中文名
累積分佈函數
外文名
cumulative distribution function
歸    類
數學函數
縮    寫
CDF
定    義
概率密度函數的積分
公    式
F(a)=P(x<=a)

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 性質
  3. ▪ 1.有界性
  1. ▪ 2.單調性
  2. ▪ 3.右連續性
  3. 3 反函數
  1. 4 互補累積分佈函數

累積分佈函數定義

對於所有實數
，累積分佈函數定義如下：
即累積分佈函數表示：對離散變量而言，所有小於等於a的值出現概率的和 [1]  。
圖1.累積分佈函數 圖1.累積分佈函數

累積分佈函數性質

累積分佈函數1.有界性

累積分佈函數2.單調性

累積分佈函數3.右連續性

之值落在一區間(a,b]之內的機率為
一隨機變數X的CDF與其pdf的關係為

累積分佈函數反函數

若累積分佈函數F是連續的嚴格增函數，則存在其反函數
。累積分佈函數的反函數可以用來生成服從該隨機分佈的隨機變量 [2]  。
設若
是概率分佈X的累積分佈函數，並存在反函數
。若a是[0,1)區間上均勻分佈的隨機變量，則
服從X分佈。

累積分佈函數互補累積分佈函數

互補累積分佈函數（complementary cumulative distribution function、CCDF），是對連續函數，所有大於a的值，其出現概率的和。
參考資料
  • 1.    [1]王江豔. 累積分佈函數的光滑同時置信帶[D].蘇州大學,2013.
  • 2.    [2]陳蒙. 一種基於累積分佈函數變換法的直方圖均衡化圖像增強應用研究[J]. 貴州大學學報(自然科學版),2013,06:107-109+137.