商空間

設V是域K上的一個向量空間，且N是V的一個子空間。我們定義在V上定義一個等價類，如果

則令

。即如果其中一個加上

中一個元素得到另一個，則與

相關。

的所在等價類通常記作

因為它由

給出。那麼商空間

定義為

/

，V在

下所有等價類集合。等價類上的數乘與加法定義為：

1) 對所有

，

，

2)

。

不難驗證這些運算是良定義的（即與代表元之選取無關）。這些運算將商空間

轉化為K上一個向量空間，成為零類。相對應的，商映射即定義為

與等價類

之映射

（1）反身性：

（2）對稱性： 若

則

（3）傳遞性： 若

則

設X為拓撲空間，~為X的等價關係。π:X→X/~為典範映射。U⊂X/~，若π^-1(U)為X中開集，定義U為X/~中開集，則X/~在商拓撲下為商空間。 ^[3] 

X/~的商拓撲為使π為的X的最強的拓撲。 ^[3] 

設X為連通空間，則X/~亦然。

設X為道路連通空間，則X/~亦然。

設X為緊空間，則X/~亦然。 ^[3] 

令

為標準笛卡兒平面，

是

中過原點的一條直線。則商空間

可與X中與Y平行的所有直線等價。這就是講，集合

的元素是X中平行於Y的元素。這給出了以一種幾何的方式看商空間的方法。

另一個例子是

被前

個標準基向量張成的子空間的商。空間R有所有實數

元組

組成。子空間，與

等價，由只有前

元素是非零

的所有

元組組成。的兩個向量在模去這個子空間的同一個共軛類中當且僅當他們的後

個座標相等。商空間

/

顯然地同構於

。

更一般地，如果V寫成子空間U與W的一個（內部）直和：

則商空間

自然同構於

^[1]  。

如果U是V的一個子空間，U在V中的餘維數定義為V/U的維數。如果V是有限維的，這就是V與U的維數之差：

從

到商空間

有一個自然滿射，將x送到它的等價類

。這個滿射的核（或零空間）是子空間

。此關係簡單地總結為短正合序列：

令

是一個線性算子，T的核，記作

，是所有

使得

的集合。核是

的一個子空間。線性代數第一同構定理説商空間V/ker(T)同構於

在

中的像。一個直接推論，對有限維空間的秩-零化度定理：V的維數等於核的維數（

的零化度）加上像的維數（

的秩）。

線性算子

的餘核定義為商空間

。

如果X是一個巴拿赫空間而M是X的一個閉子空間，則商X/M仍是一個巴拿赫空間。上一節已經給出商空間一個向量空間結構。我們定義X/M上一個範數為

商空間X/M關於此範數是完備的，所以是一個巴拿赫空間。

令

表示區間[0,1]上連續實值函數的巴拿赫空間。記所有函數

使得

的子空間為M。則某個函數

的等價類由它在0點的值決定，商空間C[0,1]/M同構於R。

如果X是一個希爾伯特空間，則商空間X/M同構於M的正交補 ^[2]  。

局部凸空間被一個閉子空間商還是局部凸的。事實上，假設是局部凸的所以

上的拓撲由一族半範數

生成，這裏

是一個指標集。設

是一個閉子空間，定義

上半範數

則

是一個局部凸空間，上面的拓撲是商拓撲。

進一步，若X是可度量化的，則

也是；如果X是弗雷歇空間，

也是。