四平方和定理

1743年，瑞士數學家歐拉發現了一個著名的恆等式：

根據上述恆等式或四元數的概念可知如果正整數

和

能表示為4個整數的平方和，則其乘積

也能表示為4個整數的平方和。於是為證明原命題只需證明每個素數可以表示成4個整數的平方和即可。

1751年，歐拉又得到了另一個一般的結果。即對任意奇素數，同餘方程

必有一組整數解

滿足

(引理一)

至此，證明四平方和定理所需的全部引理已經全部證明完畢。此後，拉格朗日和歐拉分別在1770年和1773年作出最後的證明。

根據上面的四平方和恆等式及算術基本定理，可知只需證明質數可以表示成四個整數的平方和即可。

因

，故只需證明奇質數可以表示成四個整數的平方和。

根據引理一，奇質數

必有正倍數可以表示成四個整數的平方和。在這些倍數中，必存在一個最小的。設該數為

。又從引理一可知

。

證明m0不會是偶數

設

是偶數，且

。由奇偶性可得知必有兩個數或四個數的奇偶性相同。不失一般性設

與

的奇偶性相同，

與

的奇偶性相同，則

均為偶數，於是得到：

，與

是最小的正整數使得的假設

可以表示成四個整數的平方和不符。

下面用反證法證明

。

設

。

首先

不可整除

的最大公因子，否則

可整除

，則得

是

的因子，但

且

為質數，矛盾。 故存在不全為零，且絕對值小於

（注意

是奇數在此的重要性）的整數

使得

。

由

，

可得

，其中

是正整數且小於

。

下面證明

可以表示成四個整數的平方和，從而推翻假設。 用四平方和恆等式令

，可知

是

的倍數（由

的構造方式和同餘關係可得），令

，則

與

矛盾。

設

為奇素數，將和為

的剩餘兩個一組的分開，可得出

組，分別為

。

模

的二次剩餘有

個，分別為

.

若

是模

的二次剩餘，選取

使得

，則

，定理得證。

若

不屬於模

的二次剩餘，則剩下

組，分別為

.，而模

的二次剩餘仍有

個，由於

，根據抽屜原理，存在

使