偶置換

當把置換寫成對換的乘積時，不要求（也不能要求）這些對換沒有公共的點，也不能保證表示的唯一性；甚至不能保證乘積中出現的對換的個數的唯一性。但是我們可以證明，當把一個置換 g 表示成對換的乘積，所需要的對換的個數的奇偶是被 g 完全確定的。一個可以表示成偶數個對換的乘積稱為偶置換（even permutation），否則稱為奇置換（odd permutation）。

兩個偶置換的乘積，兩個奇置換的乘積都是偶置換。

一個偶置換和一個奇置換乘起來是奇置換。

若 |Ω|=n，則在Ω 的全體置換中，有

個偶置換，有

奇置換。

全體偶置換在置換的乘法下成為一個羣，稱為Ω 上的交錯羣（alternating group），記作 Alt (Ω)。Alt (Ω) 是 Sym(Ω) 的正規子羣。若 |Ω|=|Ω₁|，Sym(n) 或 S_n來表示 n 元集合上的對稱羣。同樣用 Alt(n)，或 A_n來表示 n 元集合上的交錯羣。交錯羣在有限羣理論中具有重要地位。當

時，A_n是單羣。

[permutation group]

置換羣是由置換組成的羣。一個有限集合到自身的雙射稱為置換（permutation）。設 Ω 為有限集合，其元素按慣例稱為點。若α 為Ω 中一點，g 為Ω 一個置換，通常把α 在 g 下的像記作α^g。設Ω={1,2,...,n}，則 Ω 的置換可表成

的形狀，這裏把每個點的像寫在點的下方。

例如，Ω={1,2,3,4,5}，

就表示這樣一個置換，它把 1 映成 2，把 2 映成 3，把 3 映成 1，把 4 和 5 互換。此時我們也把 g 寫作 g=(123)(45) 的形狀。

一般地，Ω={1,2,...,n} 上的任何置換都可以寫成

的形狀，這裏

都是Ω 的點，而且Ω 的每個點在右端恰好出現一次。上面的寫法表示，g 把α₁ 映成α₂，把α₂ 映成α₃,...,又把α₃ 映成α₁。同樣，g 把β₁ 映成β₂ ，把β₂ 映成β₃,..., 又把β_t 映成β₁，等等。此處的

都稱為 輪換 (cycle)，s,t,...,u 稱為它們的長度（length）。這種表示稱為置換的輪換分解（cycle decomposition）。在此分解中出現的各輪換的長度之和為Ω 的長度 n。按照上面的方法，(123)(45) 也可寫成(231)(54)，或(312)(45)，或(45)(231)等。這就是説，在輪換的分解中，各輪換的次序可以改變，同時輪換

也可用

代替。我們還規定，在用輪換分解來表示置換時，長度為 1 的輪換可以省略。

若Ω 有 n 個點，則Ω 點置換共有 n！個。設 g，h 為兩個置換，它們作為映射可用相乘，把乘積記住 gh，點α 在 gh 下的像為

。Ω 的全體置換在上述乘法下成為一個羣，它稱為Ω 上的對稱羣（symmetric group）

長度為 2 度輪換稱為對換（transposition）。任何一個長度 2 的輪換可以寫成對換可以寫成對換的乘積。實際上，

，有

。

進而每個置換都可以寫成對換的乘積。 ^[1]