-
埃爾米特形式
鎖定
埃爾米特形式(Hermite Normal form)是複流形上的一種特殊雙線性形式。
- 中文名
- 埃爾米特形式
- 外文名
- HermiteNormalform
- 定 義
- 特殊雙線性形式
- 學 科
- 數理科學
- 分 類
- 行埃爾米特形式、列埃爾米特形式
- 領 域
- 線性代數
埃爾米特形式基本簡介
在線性代數中,埃爾米特形式是整數Z上矩陣的簡化階梯形式的一個類似形式。就像簡化的階梯形式可以用來解決關於線性系統的解的問題Ax = b其中x在Rn中, 埃爾米特形式可以解決關於線性系統Ax = b的解的問題,其中這個時間x僅限於具有整數座標。 埃爾米特形式的其他應用包括整數規劃、密碼學,和抽象代數。
埃爾米特形式形式定義
行埃爾米特形式
如果存在平方單模矩陣U,其中H = UA且H具有以下限制,則具有整數項的m×n矩陣A具有(行)埃爾米特形式(HNF)H:
- H是上三角(即,對於i> j,hij= 0),並且任何零行都位於任何其他行的下面。
- 非零行的前導係數(從左邊開始的第一個非零輸入,也稱為樞軸)始終嚴格地位於其上一行的前導係數的右側。
- 樞軸下方的元素為零,樞軸上方的元素非負,嚴格小於樞軸。
列埃爾米特形式
如果有一個正方形的單模矩陣U,其中H = AU和H有以下限制,那麼具有整數項的m×n矩陣A具有(列)Hermite範式(HNF)H:
- H是下三角形,對於i <j,hij= 0,任意的零列都位於右邊。
- 非零列的前導係數(從頂部開始的第一個非零的入口,也稱為支點)始終嚴格低於之前列的前導係數。
- 樞軸右側的元素為零,樞軸左側的元素非負,嚴格小於樞軸。
埃爾米特形式存在性唯一性
每個具有整數項的m×n矩陣A具有唯一的m×n矩陣H(HNF),使得對於某個平方單模矩陣U,H = UA。
埃爾米特形式示例
在下面的例子中,H是矩陣的埃爾米特正常形式A,和U是單模矩陣,使得UA = H。
如果A只有一行,則H = A或H = -A,取決於A的單行是否具有正的或負的超前係數。
埃爾米特形式算法
有許多算法計算可追溯到1851年的Hermite標準形式。直到1979年,才開始計算在強多項式時間運行的Hermite標準形式的算法;也就是説,計算Hermite範數的步數由輸入矩陣的維數中的多項式來界定,算法所使用的空間(中間數)由二進制編碼中的多項式輸入矩陣中數字的大小。一類算法是基於高斯消元的,因為特殊的基本矩陣被重複使用。所述的LLL算法也可以用來有效地計算Hermite範式
[2]
。
埃爾米特形式應用程序
格子計算
典型的晶格中
具有形式
其中
是
。如果矩陣A的列是
,則格可以與矩陣的列相關聯,並且A被認為是L的基礎。由於Hermite範式是唯一的,所以可以用來回答關於兩個格點描述的許多問題。接下來,
表示由A的列生成的格。因為基礎在矩陣A的列中,所以必須使用列式Hermite範式。給定一個格點A和A'的兩個基礎,等價問題是決定是否
這可以通過檢查A和A'的列式Hermite標準形式是否相同直到添加零列來完成。這個策略對於決定格是否是一個子集也是有用的
當且僅當
),判斷一個向量v是否在一個格中(
當且僅當
)和其他計算
[3]
。
整數解線性系統
- 詞條統計
-
- 瀏覽次數:次
- 編輯次數:6次歷史版本
- 最近更新: 随便问问949