特殊酉羣

特殊酉羣(special unitary group)是酉羣的一個重要子羣。酉羣U_n(K，f)的子羣U_n(K，f)∩SL_n(K)稱為特殊酉羣，記為SU_n(K，f).U(n)的特殊酉羣記為SU(n)。若U_n(K，f)不是正交羣，f是跡形式且指數≥1，則U_n(K，f)含有平延，稱為酉平延。此時U_n(K，f)中全體酉平延生成一個正規子羣T_n(K，f)，稱為酉平延羣。若K交換，則除U_n(K，f)=U₃(F₄，f)的情形外，T_n(K，f)=SU_n(K，f)。當U_n(K，f)是辛羣時酉平延改稱辛平延，此時T_n(K，f)=Sp_n(K，f).SU_n(K，f)和T_n(K，f)在自然同態GL_n(K)→PGL_n(K)下的像PSU_n(K，f)和PT_n(K，f)分別稱為射影特殊酉羣和射影酉平延羣。除少數例外情形外，PT_n(K，f)是單羣，例外情形是：Sp₂(F₂)，Sp₂(F₃)，Sp₄(F₂)及U_n(K，f)≠Sp_n(K，f)時是：PU₂(F₄，f)，PU₂(F₉，f)，PU₃(F₄，f)。 ^[2] 

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。 ^[3] 

典型羣是一類重要的羣。一般線性羣、酉羣、辛羣、正交羣，以及它們的換位子羣、對中心的商羣等統稱為典型羣。實數域和複數域上的典型羣是李羣的重要例子，它們的構造及表示在李羣理論、幾何學、多複變函數論以至物理學中都起着重要作用。迪克森(Dickson，L.E.)通過對有限域上典型羣的構造的研究得到了一大批有限單羣.這是繼交錯羣之後人們發現的又一批重要的有限單羣系列.經過謝瓦萊(Chevalley，C.)的工作進一步擴展為有限李型單羣的系列後，為有限單羣分類的最後完成奠定了一個重要基礎。迪厄多內(Dieudonné，J.)將迪克森的工作加以推廣，通過研究任意體上的典型羣的構造也得到了大量的單羣。迪厄多內、施賴埃爾(Schreier，O.)、範·德·瓦爾登(Van der Waerden，B.L.)、華羅庚、萬哲先等對研究典型羣的構造、自同構及同構作出了重要貢獻。

子羣是羣的特殊的非空子集。羣G的非空子集H，若對G的乘法也成為羣，則稱H為G的子羣，記為H≤G。若子羣H≠G，則稱H為G的真子羣，記為HG或簡記為H<G。任何一個非單位元羣G至少有兩個子羣，G自身以及由單位元e作成的單位元羣{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子羣。不是平凡子羣的子羣稱為非平凡子羣。羣G的非空子集H為G的子羣的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H.若{H_i|i∈I}是G的子羣的集合，I是一個指標集，則所有H_i的交H_i是G的一個子羣。

酉羣是一類重要的典型羣。在複數域的特殊情形，全體n×n酉方陣在矩陣乘法下構成的羣稱為n次酉羣，記為U(n)。一般地，設K是帶有對合J：a→a-的體，V是K上n維列向量空間，f(x，y)=x-Hy是V上非退化厄米特型或反厄米特型，這裏H∈GL_n(K)且=εH，ε=±1.若A∈GL(V)使f(Ax，Ay)=f(x，y)對所有的x，y∈V成立，則稱A是關於f的酉變換。關於f的全體酉變換組成GL(V)的一個子羣，稱為關於f的酉羣，記為U_n(K，f).從矩陣的觀點看，U_n(K，f)={A∈GL_n(K)|HA=H}。當f是交錯雙線性型時U_n(K，f)就是辛羣Sp_n(K，f);當K的特徵≠2且f是對稱雙線性型時U_n(K，f)就是正交羣O_n(K，f);當K是複數域，J是複共軛，H=I時，酉羣U_n(K，f)就是酉羣U(n)。 ^[4] 

特殊線性羣亦稱幺模羣。一般線性羣的一個重要的子羣。對A∈GL_n(K)，若矩陣A-I的秩是1並且(A-I)=0，則稱A為平延。GL_n(K)中所有的平延生成一個正規子羣，稱為K上n次特殊線性羣，記為SL_n(K)。SL_n(K)也可由全體形如I+λE_ij(i≠j，λ∈K)的初等矩陣生成，這裏E_ij表示第(i，j)元素為1，其餘元素為0的n×n矩陣。當K交換時，SL_n(K)就是GL_n(K)中行列式為1的全體矩陣組成的子羣。除SL₂(F₂)外，SL_n(K)是GL_n(K)的換位子羣。 ^[5]