射影酉羣

射影酉羣(projective unitary group)是一類典型羣。指酉羣的自然同態像。具有對合J的體K上關於厄米特型或反厄米特型f的酉羣U_n(K，f)在自然同態GL_n(K)→PGL_n(K)下的像。記為PU_n(K，f)。酉羣U(n)對應的射影酉羣記為PU(n)。 ^[2] 

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣；時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。 ^[3] 

典型羣是一類重要的羣。一般線性羣、酉羣、辛羣、正交羣，以及它們的換位子羣、對中心的商羣等統稱為典型羣。實數域和複數域上的典型羣是李羣的重要例子，它們的構造及表示在李羣理論、幾何學、多複變函數論以至物理學中都起着重要作用。迪克森(Dickson，L.E.)通過對有限域上典型羣的構造的研究得到了一大批有限單羣。這是繼交錯羣之後人們發現的又一批重要的有限單羣系列。經過謝瓦萊(Chevalley，C.)的工作進一步擴展為有限李型單羣的系列後，為有限單羣分類的最後完成奠定了一個重要基礎。迪厄多內(Dieudonné，J.)將迪克森的工作加以推廣，通過研究任意體上的典型羣的構造也得到了大量的單羣。迪厄多內、施賴埃爾(Schreier，O.)、範·德·瓦爾登(Van der Waerden，B.L.)、華羅庚、萬哲先等對研究典型羣的構造、自同構及同構作出了重要貢獻。

酉羣是一類重要的典型羣。在複數域的特殊情形，全體n×n酉方陣在矩陣乘法下構成的羣稱為n次酉羣，記為U(n)。一般地，設K是帶有對合J：a→a-的體，V是K上n維列向量空間，f(x，y)=x-Hy是V上非退化厄米特型或反厄米特型，這裏H∈GL_n(K)且=εH，ε=±1。若A∈GL(V)使f(Ax，Ay)=f(x，y)對所有的x，y∈V成立，則稱A是關於f的酉變換。關於f的全體酉變換組成GL(V)的一個子羣，稱為關於f的酉羣，記為U_n(K，f).從矩陣的觀點看，U_n(K，f)={A∈GL_n(K)|HA=H}。當f是交錯雙線性型時U_n(K，f)就是辛羣Sp_n(K，f)；當K的特徵≠2且f是對稱雙線性型時U_n(K，f)就是正交羣O_n(K，f);當K是複數域，J是複共軛，H=I時，酉羣U_n(K，f)就是酉羣U(n)。 ^[4] 

自然同態亦稱標準同態或典範同態。羣到其商羣上的一種特殊同態。若N是羣G的一個正規子羣，則存在G到商羣G/N上的一個映射f：g↦Ng。這個映射是G到G/N的滿同態，稱為自然同態，其中：

Imf=G/N，　ker f=N.

模同態是模論的重要概念之一。指兩個模之間的一類映射。設M，N是兩個A模，f是加羣M到N的羣同態，若f還保持A到M，N上的運算，即對任意a∈A，f(ax)=af(x)，x∈M，則稱f是模同態，也稱A同態。常記為f∈Hom_A(M，N)或f∈Hom(M，N).任意兩個模M，N之間總存在模同態，例如，設f(x)=0，x∈M，通常稱此同態為零同態。若N是M的子模，映射π：x→x-=x+N是_AM到_AM-的模同態，則稱π為自然同態。模M，N之間的模同態集Hom_A(M，N)是一個加羣，特別地，當M=N時，記： ^[5] 

End(_AM)=Hom_A(M，N)，

它是一個環，稱為模M的自同態環。A是End(_AM)的子環。