單位羣

任意幺半羣M的可逆元子集對M的乘法構成一個羣，稱為M的單位羣。 ^[1] 

在環論中，所有可逆元素叫環的單位，所有單位對乘法可構成一個羣，稱為環的單位羣。

實際上環的單位羣的定義包含於幺半羣的單位羣的定義。因為環相當於附加了加法的幺半羣，而加法的零元對於乘法不可逆，而不包含於單位羣內，即環的單位羣無法再視為加法羣。

對環（域）來説，單位羣所有元素，和環（域）的所有元素有多少相同，有多少不同，可由環的素理想，分式理想，理想類羣來度量。

整數環Z的單位只有1，-1，單位羣同構於循環羣C₂。模n 的剩餘類環Z_n單位羣記為U（Z_n）。僅有U（Z₃），U（Z₄），U（Z₆），U（Z₈），U（Z₁₂），U（Z₂₄）非單位元的階均為2；非單位元的階均為其他素數p（p＞2）的單位羣不存在。