結合代數

設A是非空集,F是域。在集A上定義有加法+和乘法·兩個運算,在F和A之間定義有數乘運算,即對於任意 ^[1]  α∈F,a∈A有αa∈A,且滿足以下條件:①A關於加法+和乘法·作成結合環;②A關於加法+及數乘運算構成域F上的向量空間；③對任意α∈F，a、b∈A有α(ab)=(αa)b=a(αb)，這種代數系統記作{A,+,·,數乘}並稱為域F 上結合代數，簡稱F上代數A或代數A。域F上向量空間A的維數也稱為F上代數A的維數。

環的加法羣是一個交換羣，而代數的加法羣是域F上的向量空間，後者較前者的結構要簡單得多。例如，向量空間A必有基{αi，i∈I}，而任意a∈A可唯一表成 。於是只要知道αi之間的乘法表,

便可以計算A中任二元的乘積稱為代數A的構造常數。反之，通過規定向量空間A的一組基元之間的乘法,可線性擴張成A中的一個乘法。人們常利用這種方便定義新代數。

與環相類似，結合代數也有子代數、理想、同態、直積等概念。

例如，代數A的理想B，即指B是向量空間A的子空間，又是環A的理想。與除環和單環相應的概念,是可除代數和單代數等。

仿照由實數來構造複數的方法，可用複數來構造新的數。設Q是一切複數對(α,b)的集合,規定(α,b)=(с,d)當且僅當 α=с,b=d，並定義如下的運算

婔,廀是複數с，d的共軛數,α是實數。直接驗證可知,Q是實數域R上的一個四維結合代數，除了乘法交換律之外，Q的運算具有通常的數運算的所有性質。這是第一個非交換可除代數的例子。

如令

則它們組成R上代數Q的一個基,而Q關於此基的乘法表是：1是單位元。這就是著名的四元數代數。 ^[2] 

由於推廣數系而得出四元數代數，隨之產生出實數域與複數域上的結合代數的概念，最初曾稱之為：“超複數系”。實數域上有限維可除代數有三個而且只能有此三個：實數域、複數域、四元數代數。這就是著名的弗羅貝尼烏斯定理。而韋德伯恩定理則刻畫了關於有限域的情形：有限域上有限維可除代數只能是有限域。

域K上一切n×n矩陣的集合Kn關於矩陣的加法、乘法和數乘運算,作成一個n2維結合代數,而且是單代數。用域F上m維可除代數D去代替域K，就得到D上一切n×n矩陣組成的F上mn2維結合代數Dn。Dn也是單代數。

關於有限維結合代數的韋德伯恩理論，對代數的研究有深遠的影響。這一理論的主要內容是：①任意有限維結合代數A含有一個極大的冪零理想N(所謂N是冪零的，意指存在一個自然數n，使N中任意n個元素之積都是零)，它包含A的一切冪零理想，N稱為A的冪零根，而商代數A/N的冪零根為零，冪零根為零的代數，稱為半單代數；②半單代數是有限個單代數的直和;③F上單代數必具有形式Dn,其中D是F上可除代數，且D和n是唯一的；④任意代數A=N+S（向量空間的直和），其中N是A的冪零根，S是A的半單代數。

Α.И.馬爾採夫證明了④中的子代數S在不計內自同構的意義下是唯一的。根據上述韋德伯恩定理，有限維代數的研究，基本上可歸結為對冪零代數與可除代數的研究。實際上這是研究代數的一個模式：對代數引入根的概念，從而可將對任意代數的研究化歸為對兩類特殊代數的研究。結合環的阿廷理論和雅各布森理論，以及關於非結合代數和環的一些研究都是按照這一模式進行的。

F上單代數A有單位元1，因此可認定F=F·1吇A。若A的中心(即與A中任意元素都是乘法可換的元素的全體)恰是F，則A稱為F上中心單代數。Fn是F上中心單代數。

張量積在研究單代數時起着重要作用。設A、B是F有單位元的代數。取A在F上的一個基;取B在F上的一個基

,。以符號集為基可作F上一個向量空間，記作A×B。規定A×B的一個乘法,則得F上一個結合代數A×B，稱之為F上代數A和B的張量積。可以證明,代數A×B與A和B之基的選擇無關。兩個F上中心單代數的張量積仍是F上中心單代數。利用張量積可以定義張量代數,或者外代數、格拉斯曼代數（見多重線性代數）。

令G表示F上有限維中心單代數的全體。在集合G中引入關係～：A～B當且僅當存在m、n∈Z +使得。容易證明，這是一個等價關係。令凴表示A所在的等價類，

。在集合強中規定一個乘法：

。可以證明，這個乘法定義是合理的,即與等價類凴的代表選擇無關，並且強關於此乘法作成一個羣。稱羣{強,·}為域F上的布饒爾羣，記作B(F)。B(F)的結構反映了中心單代數間的張量積的性質。可以證明B(F)是交換週期羣。 　若A是F上n2維中心單代數，且含有一個子域K,而K是F上n次正規擴域，則A稱為一個交叉積。若K是域F上的循環擴域,則交叉積A特稱為循環代數。交叉積有比較簡單的乘法表，然而它有很好的代表性：B(F)中任一元素(即等價類凴中)必含有一個交叉積。

布饒爾-哈塞-諾特－阿爾貝特理論是有限維結合代數中特別重要而完美的理論。它闡明瞭有理數域上的每一個單代數（尤其可除代數）都是其中心F上的循環代數,也就是説，有理數域的有限擴域F上的中心單代數都是循環代數。近年來，S.阿米策等人討論了不是交叉積的可除代數。

所謂有限維結合代數的表示,是指代數到域F上矩陣代數Fn內的同態映射。有限維結合代數的表示理論與有限羣表示論之間有密切的聯繫。設G是一有限羣,其元素為g1,g2,…,gn，F是一域,作一個以g1,g2,…,gn為基元的n維向量空間,於是便得到F上一個結合代數,稱之為羣代數，並記作F[G]。由結合代數F[G]的一個表示可得羣G的一個表示。反之亦然。若域F的特徵不能整除羣G的元素個數│G│,則F[G]是半單代數。這就是馬施克定理。由前述的韋德伯恩定理可進而得出半單代數的較為完整的表示理論，它可用來刻畫有限羣的常表示。若為域F的特徵能整除│G│的情況，即有限羣的模表示，則要求發展F上非半單代數的表示。弗羅貝尼烏斯代數、擬弗羅貝尼烏斯代數、單列代數以及它們的推廣，是首先研究的非半單代數類，在研究中廣泛使用了同調代數工具。近年來，代數的表示論在M.奧斯蘭德、P.加布裏埃爾、A.V.羅伊特等人手中有很大發展，是很活躍的一個代數分支。 ^[3] 

1933年中山正、松島與三證明了局部域上單代數的換位子羣等於換 1元素羣。王湘浩在1950年證明了上述二羣在代數數域情形下仍相等，而且在一般域的情形下當指數無平方因子時也相等。這裏首先提出的在最一般的情形下的問題,這在以後興起的代數K理論和代數羣理論中是很重要的。

一種代數系統，類似於羣、環、域，而更接近於環。線性結合代數的研究，開始於19世紀50年代。在哈密頓發現四元數的啓示下，數學家們陸續得到許多超複數系統。首先，凱萊給出實四元數的一個八單元推廣——八元數；緊接着哈密頓引進擬

四元數，即帶有復係數的四元數；稍後，英國數學家克利福德創立另一類型的超複數，叫作克利福德代數，在這個系統中，具有單元 。每個單元的平方滿足 而對任何 有 ，任兩個單元的乘積是一個新的單元，所有乘積是可結合的。 到19世紀70年代，又湧現了大量的新的超複數系統。美國數學家B．皮爾斯在1870年發表了著名論文《線性結合代數》，總結了這方面的工作。他指出，“線性”意味着任何兩個單元的積可以化成另外一個單元，而結合則表明乘法是結合的。線性結合代數的理論到19世紀70年代末才建立起來，弗羅貝尼烏斯在1878年，C．S．皮爾斯在1881年先後證明：具有有限個原始單元的、有乘法單位元素的實係數線性結合代數只有實數、複數和實四元數系統。外爾斯特拉斯和戴德金也得到了關鍵性的結果。到19世紀末(1898)，德國數學家胡爾維茨證明了實數、複數、實四元數和克利福德代數是僅有的滿足乘法定律的線性結合代數。

這個課題的研究，一直活躍到20世紀，美國數學家迪克森、韋德伯恩在這方面都有重要貢獻。

非結合代數是抽象代數學的一個重要分支，與結合環和結合代數理論在概念與術語的使用上、問題的背景與提出的方式上、討論中的思路與解決問題的方法上都有密切聯繫。若集合R上有兩個二元運算：加法“+”和乘法“·”，而且： ^[4] 

1.(R，+)是加法羣;

2.R的乘法“·”對其加法“+”滿足分配律，即對任意x，y，z∈R，恆有：

(x+y)·z=x·z+y·z，

z·(x+y)=z·x+z·y;

則稱(R，+，·)是一個非結合環.進而，

3.若(R，+)是域F上的線性空間，且對任意α∈F，任意x，y∈R有

α(x·y)=(αx)·y=x·(αy);

則稱(R，+，·)是域F上的一個非結合代數.也稱非結合環、非結合代數為分配環和分配代數.設(A，+，·)是一個非結合代數，若它對其乘法滿足結合律或交錯律或若爾當律或雅可比恆等式等，就分別稱其為結合代數、交錯代數、非交換若爾當代數、李代數等。因為，結合環必為非結合環，每個結合代數都是非結合代數，所以，字頭“非”意味着乘法滿足結合律與不滿足結合律的環與代數的總和.由於結合環與結合代數的研究工作起步早、成果多，已自成系統，所以在非結合代數與非結合環理論中通常將那些“結合的”系統排除在外。同樣道理，李代數已形成獨立局面，而不再被包含在一般非結合代數中。

一些重要的非結合代數是受到量子力學、統計物理等刺激發展起來的，但是在其代數結構的理論探討上，可以説，基本上是沿着結合代數結構理論的路子向前發展.如引入理想、同態、商代數、根、直和、鏈條件、半單等概念，分別討論各種類型非結合代數的韋德伯恩定理存在的可能性等.

在這個分支中，研究成果比較令人滿意的是冪結合代數、凱萊代數、若爾當代數、非交換若爾當代數、交錯代數等。 ^[5]