克利福德代數

設V是特徵不為2的域K上的線性空間，Q是V上的一個二次型，T(V)是V上的張量代數。若I是T(V)中下列形式的元素生成的理想：

則商代數Cl(V,Q)=T(V)/I稱為關於二次型Q的一個克利福德代數。 ^[6] 

若f是V到一個K上代數A的代數同態，使得

f(v)²=-Q(v)1，v∈V，

則存在C(V,Q)到A惟一的代數同態g使得如圖交換。

當dim V=n時，dim C(V，Q)=2。當Q=0時，C(V，Q)即為V上的外代數。因此，克利福德代數是外代數的推廣。實數域上的複數全體，四元數全體都構成克利福德代數。 ^[2] 

其元素為u-=u+K_Q，u∈T(V)。由於T(V)是由V生成的，所以V到C(V，Q)的自然映射i：x→x-=x+K_Q，x∈V，使得i(V)就生成Cl(V,Q).事實上，若：

dim V=n，

且u₁，u₂，…，u_n為V的基，則u-_i1，u-_i2，…u-_ir(i₁<i₂<…<i_r， 1<r≤n)生成F上向量空間C(V，Q)。從而

dim Cl(V,Q)≤n².

特別地，若n=2且B(x,y)是非退化的，則C(V,Q)是四元數代數。

設V的自同態α，滿足α(v)=-v，可擴張到Cl(V,Q)。由於α²=id，可定義

分次代數Cl(V,Q)=Cl⁰(V,Q)⊕Cl¹(V,Q)，使得兩個子空間分別為α的本徵空間。 ^[6] 

Cl(V)的乘法單位羣為Cl^×(V)。由V中滿足

的v生成的Cl^×(V)的子羣為Pin(V)。Pin(V)與Cl₀(V)的交為自旋羣Spin(V)。

Pin(V)包含了Cl(V)作為線性空間的基，故Cl(V)為包含Pin(V)的最小R代數。 ^[5] 

外代數亦稱格拉斯曼代數。各階反變張量空間的並構成的代數。用Λ(V)記形式和：

則Λ(V)是

維向量空間。設：

其中

。ξ與η的外積是：

則Λ(V)關於外積成為一個代數，稱為向量空間V的外代數或格拉斯曼代數。

向量空間Λ(V)的基底是{1，e_i，e_i1∧e_i2，…，e₁∧…∧e_n}(1≤i≤n，1≤i₁<i₂≤n).

同樣，人們也有對偶空間V*的外代數：

的元素稱為向量空間上的r次外形式，它是V上反對稱r重線性函數。 ^[3] 

英國數學家。生於埃克塞特(Exeter)，卒於馬德拉(M-adeira)1860年在倫敦國王學院就學，三年後入劍橋三一學院。1867年榮獲史密斯數學獎。第二年當選為該校應用數學教授。1874年成為皇家學會會員。克利福德在數學和物理學中的影響都很大。他將黎曼等人的非歐幾何引入英國，並在有關四次方程、軌跡分類、黎曼曲面的拓撲結構等方面有獨到見解，還創設了一種具有特殊性質的二階曲面來研究曲面的幾何結構，被稱為“克利福德曲面”。這些成果對克萊因等人的工作有所幫助，也為相對論的建立提供了理論依據。在代數方面，克利福德繼哈密頓的四元數之後，引入了新的超複數——八元數(biquaternion)，並推廣為更一般的“克利福德代數”。

克利福德代數（Clifford algebra）的主要貢獻者有：Hamilton（四元數），Grassmann（外代數），Clifford，Hestenes等等。

Hestenes是克利福德代數的發揚光大者，Hestenes的主要著作有：

《Space-time algebra》（克利福德代數被引入到狹義相對論中）。

《Clifford Algebra to Geometric Calculus》（克利福德代數結合了微積分，成為更強大的數學工具）

《New Foundations for Classical Mechanics》（經典物理學用克利福德代數重新書寫）

還有一些將Clifford algebra應用於其他領域如廣義相對論、量子力學、量子場論、射影幾何、微分幾何、共形幾何等中的著作。 ^[4]