交錯代數

交錯代數是指滿足特別公理的一種非結合代數。指它的任意兩個元素x，y恆有： ^[1] 

x²y=x(xy)，　yx²=(yx)x.

寫成結合子形式，即(x，x，y)=(y，x，x)=0.交錯意味着對任意一個3級置換σ恆有：

(x₁，x₂，x₃)=(sgnσ)(x_σ(1)，x_σ(2)，x_σ(3)).

交錯代數中任意兩個元素生成的子代數都是結合的。有限維交錯代數是半單的，當且僅當它是其單理想之直和。

交錯代數之所以這樣命名，是因為它們正好是結合子交錯的代數。結合子是一個三線性映射，由下式給出：

[x,y,z] = (xy)z − x(yz) 根據定義，一個多線性映射是交錯的，如果只要兩個自變量相等，映射便為零。一個代數的左交錯和右交錯恆等式等價於：

[x,x,y] = 0 [y,x,x] = 0. 兩個恆等式在一起，便意味着結合子是完全斜對稱的。也就是説：

[xσ(1),xσ(2),xσ(3)] = sgn(σ)[x1,x2,x3] 對於任何置換σ。於是可以推出：

[x,y,x] = 0 對於所有的x和y。這等價於所謂的柔性恆等式：

(xy)x = x(yx). 因此結合子是交錯的。反過來，任何一個結合子交錯的代數顯然是交錯代數。根據對稱性，任何一個代數，只要滿足以下三個恆等式中的兩個：

左交錯恆等式：x(xy) = (xx)y 右交錯恆等式：(yx)x = y(xx) 柔性恆等式：(xy)x = x(yx). 這個代數便是交錯的，因此三個恆等式都滿足。

一個交錯的結合子總是完全斜對稱的。反過來也成立，只要基域的特徵不是2。 ^[2] 

抽象代數學的一個重要分支，與結合環和結合代數理論在概念與術語的使用上、問題的背景與提出的方式上、討論中的思路與解決問題的方法上都有密切聯繫.若集合R上有兩個二元運算：加法“+”和乘法“·”，而且：

1.(R，+)是加法羣;

2.R的乘法“·”對其加法“+”滿足分配律，即對任意x，y，z∈R，恆有：

(x+y)·z=x·z+y·z，

z·(x+y)=z·x+z·y;

則稱(R，+，·)是一個非結合環.進而，

3.若(R，+)是域F上的線性空間，且對任意α∈F，任意x，y∈R有

α(x·y)=(αx)·y=x·(αy);

則稱(R，+，·)是域F上的一個非結合代數.也稱非結合環、非結合代數為分配環和分配代數.設(A，+，·)是一個非結合代數，若它對其乘法滿足結合律或交錯律或若爾當律或雅可比恆等式等，就分別稱其為結合代數、交錯代數、非交換若爾當代數、李代數等.因為，結合環必為非結合環，每個結合代數都是非結合代數，所以，字頭“非”意味着乘法滿足結合律與不滿足結合律的環與代數的總和.由於結合環與結合代數的研究工作起步早、成果多，已自成系統，所以在非結合代數與非結合環理論中通常將那些“結合的”系統排除在外.同樣道理，李代數已形成獨立局面，而不再被包含在一般非結合代數中.

一些重要的非結合代數是受到量子力學、統計物理等刺激發展起來的，但是在其代數結構的理論探討上，可以説，基本上是沿着結合代數結構理論的路子向前發展.如引入理想、同態、商代數、根、直和、鏈條件、半單等概念，分別討論各種類型非結合代數的韋德伯恩定理存在的可能性等.

在這個分支中，到目前為止，研究成果比較令人滿意的是冪結合代數、凱萊代數、若爾當代數、非交換若爾當代數、交錯代數等. ^[3] 

阿廷定理説明，在交錯代數中，由任何兩個元素生成的子代數是結合的。反過來，任何滿足這個條件的代數顯然是交錯的。於是可以推出，在交錯代數中，只含有兩個變量的表達式可以不用括號寫出，而又沒有歧義。阿廷定理的一個推廣説明，如果交錯代數中的三個元素x,y,z是結合的（也就是説，[x,y,z] = 0），那麼由這些元素所生成的子代數是結合的。

阿廷定理的一個推論是，交錯代數都是冪結合的，也就是説，由一個元素所生成的子代數是結合的。反過來不一定成立：十六元數是冪結合的，但不是交錯的。 ^[4] 

a(x(ay)) = (axa)y ((xa)y)a = x(aya) (ax)(ya) = a(xy)a 在任何交錯代數中都成立。

在一個單式交錯代數中，如果乘法逆存在，那麼它一定是唯一的。更進一步，對於任何可逆的元素x和所有的y，都有：

y = x − 1(xy). 這等於是説，對於所有這類的x和y，結合子[x − 1,x,y]都是零。如果x和y是可逆的，那麼xy也是可逆的，其乘法逆為(xy) − 1 = y − 1x − 1。因此，所有可逆的元素所組成的集合在乘法運算下封閉，並形成了一個穆方圈。在交錯環或代數中，這個單位元素圈與結合環或代數中的單位元素羣是類似的。

任何交錯的除環上的射影平面都是穆方平面。

穆方恆等式是非結合代數中元素的等式。它是某些類型非結合代數滿足的一些公理，即該代數中任意元素x，y，z滿足：

[(xy)x]z=x[y(xz)]，

z[x(yx)]=[(zx)y]x，

(xy)(zx)=[x(yz)]x.

這些公理稱為穆方恆等式。首先出現在穆方圈(Monfang loop)的研究中，現常應用於非結合代數的分類中。每個交錯代數恆滿足這些穆方恆等式。 ^[5]