十六元數

單元乘法表如下：

× 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15

1 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15

e1 e1 -1 e3 -e2 e5 -e4 -e7 e6 e9 -e8 -e11 e10 -e13 e12 e15 -e14

e2 e2 -e3 -1 e1 e6 e7 -e4 -e5 e10 e11 -e8 -e9 -e14 -e15 e12 e13

e3 e3 e2 -e1 -1 e7 -e6 e5 -e4 e11 -e10 e9 -e8 -e15 e14 -e13 e12

e4 e4 -e5 -e6 -e7 -1 e1 e2 e3 e12 e13 e14 e15 -e8 -e9 -e10 -e11

e5 e5 e4 -e7 e6 -e1 -1 -e3 e2 e13 -e12 e15 -e14 e9 -e8 e11 -e10

e6 e6 e7 e4 -e5 -e2 e3 -1 -e1 e14 -e15 -e12 e13 e10 -e11 -e8 e9

e7 e7 -e6 e5 e4 -e3 -e2 e1 -1 e15 e14 -e13 -e12 e11 e10 -e9 -e8

e8 e8 -e9 -e10 -e11 -e12 -e13 -e14 -e15 -1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7

e9 e9 e8 -e11 e10 -e13 e12 e15 -e14 -e1 -1 -e3 e2 -e5 e4 e7 -e6

e10 e10 e11 e8 -e9 -e14 -e15 e12 e13 -e2 e3 -1 -e1 -e6 -e7 e4 e5

e11 e11 -e10 e9 e8 -e15 e14 -e13 e12 -e3 -e2 e1 -1 -e7 e6 -e5 e4

e12 e12 e13 e14 e15 e8 -e9 -e10 -e11 -e4 e5 e6 e7 -1 -e1 -e2 -e3

e13 e13 -e12 e15 -e14 e9 e8 e11 -e10 -e5 -e4 e7 -e6 e1 -1 e3 -e2

e14 e14 -e15 -e12 e13 e10 -e11 e8 e9 -e6 -e7 -e4 e5 e2 -e3 -1 e1

e15 e15 e14 -e13 -e12 e11 e10 -e9 e8 -e7 e6 -e5 -e4 e3 e2 -e1 -1

如圖1,2所示，可以證明B1,B2...,B16,·為Γ的一組基,並且可以證明

=（1,2,3,……,16)中彼此不同的任意四個元素均可以作為生成元,生成與

=(1,2,...,16)同構的十六個元數的實矩陣表示形式,因此如上B1,B2...,B16,便可以得到Γ的一個實矩陣實現 ^[1]  .

定理1

定理2

,j=1,2,…,16.

定理3

的跡為零，i=1,2,…,16.

定理4

,其中i,j,k=1,2,…,16.

定理5

或者

i,j,k=1,2,…,16.

定理6

為線性無關的.

定理7 任一4階矩陣。均可表為

的線性和;

定理8如果矩陣B與任一

均滿足乘法交換律,即

(i=1,2,...,16),那麼B=kI ^[2]  .

總之，1×任意一個元數ex=這個元數ex，任意一個元數ex×1=這個元數ex，任意一個元數ex的平方都等於－1（除了1以外）