除環

除環（division ring），又譯反稱域或體（skew field）、體，是如下定義的一個環：存在非零元，且所有非零元都存在逆元（同時為左逆元與右逆元），這些非零元稱為單位(Unit)

在抽象代數中，除環（也稱為斜體）是可以進行分割的環。 具體來説，它是一個非零環，其中每個非零元a都具有乘法逆，即具有

的元素x。換句話説，一個環當且僅當單位組等於所有非零元的集合的時候它是一個除環。 除環屬於非交換環。 ^[1] 

除環不同於域，其區別在於除環不必要符合交換律。所有域都是除環。不符合交換律的除環（斜體），例子有四元數體。 然而，通過韋德伯恩的小定理，所有有限除環都是可交換的，因此是有限域。

歷史上，除環有時被稱為域，而域稱為“交換域”。

所有除環都是單的。即沒有零理想和本身之外的非平庸雙邊理想。

所有域都是除環；更有趣的例子是不可交換的除環。 最着名的例子是四元數H的環。如果在四元數的構造中只允許有理而不是實係數，我們得到另一個除環。 一般來説，如果R是一個環，而S是R上的一個簡單模塊，那麼，由舒爾引理，S的內同位環是一個除環；每個除環以這種方式從一些簡單的模塊出現。

線性代數的大部分可以通過劃分環D而不是場上的向量空間來形成並保持正確。這樣做必須指定是否正在考慮右側或左側的模，並且需要注意正確區分公式中的左側和右側。在座標上，有限維度右模塊的元素可以由列向量表示，列向量可以在右邊乘以標量，左邊乘以矩陣（表示線性圖）；對於有限維左模塊的元素，必須使用行向量，其可以在左邊乘以標量，右邊乘以矩陣。右模塊的雙重模塊是左模塊，反之亦然。矩陣的轉置必須被視為相對除環Dop的矩陣，以便使規則

保持有效。

每個模都具有基，並且模的所有基底具有相同數量的元素。可以通過矩陣來描述除環上的有限維模之間的線性映射；通過定義通過標量乘法通過線性映射的事實通過將它們寫在與向量相反的一側，以符號表示。高斯消除算法仍然適用。矩陣的列等級是由列生成的右模的維度，行等級是由行生成的左模的維度；可以使用與向量空間情況相同的證明來證明這些等級是相同的，並且定義矩陣的秩。

事實上，相反的也是正確的，並且通過它們的模範疇給出了除環的表示：當且僅當每個R模是空閒時，單環R是除環。

若除環可交換的，則是一個域。因此，每個除環是其中心的除代數。除環可以根據它們在其中心是有限維還是無限維進行粗略分類。前者稱為中心有限，後者稱為中心無限。當然，每個域都是一維的。哈密頓算子的四元數環在它的中心上形成一個四維代數，它與實數是同構的。 ^[2] 

（1）如上所述，所有域都是除環。

（2）有理的四元數環是非交換分割環。

（3）讓

是域C的構。讓

表示具有復係數的正式洛朗系列的環，其中乘法定義如下：對於每個

，我們可以使用

，而不是簡單地允許係數直接交換。如果

是複數的一個自相似（如共軛），那麼得到的洛朗系列的環是一個嚴格的非交換性除環，被稱為偏斜洛朗系列環，如果

，則它具有正式系列的標準乘法。給定一個F自同態

，這個概念可以推廣到任何固定域F的洛朗系列環。

韋德伯恩的小定理：所有有限除環是可交換的，因此是有限域。

尼烏斯定理：在實數域上，僅有的有限維的除法的結果都是實數、複數和四元數。

除環以前被稱為域。 在許多語言中，一個意思是“體”的詞用於除環，在某些語言中指定交換或非交換除環，而在其他語言中，特別指定交換除環（我們現在稱為域）。

斜環有一個有趣的語義特徵：修飾符（這裏“歪斜”）擴大了基詞的範圍（這裏是“域”）。 因此，域是特定類型的斜環，並不是所有的斜環都是域。

雖然這裏討論的除環和代數假設具有關聯乘法，但是非關聯分割代數（例如，八次數）也是有意義的。

近域是與分區相似的代數結構，只不過它只有兩種分佈規律之一。 ^[3]