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不變子空間
鎖定
不變子空間亦稱穩定子空間，與線性變換有關的一種子空間。設σ是數域P上線性空間V的線性變換，W是V的子空間，若對W中的任意一個向量α，σ(α)也屬於W，則稱W是σ的不變子空間或稱σ子空間。σ的值域與核以及σ的特徵子空間等都是σ的不變子空間，有限維的複線性空間的所有的線性變換都有一維不變子空間，有限維實線性空間的線性變換都有一維或二維不變子空間，特別地，奇數維的實線性空間的每一個線性變換都有一維的不變子空間。
[1]
- 中文名
- 不變子空間
- 外文名
- Invariantsubspace
- 別 名
- 穩定子空間
- 特 點
- 與線性變換有關的一種子空間
- 定 義
- 與線性變換有關的一種子空間
不變子空間定義
設
是線性空間V的線性變換，W是
的不變子空間，可把
看成是W的一個線性變換，稱為
在不變子空間W上引起的變換，用符號
表示。
設
，
，W是
的不變子空間，取W的基
，將其擴充為V的一組基
，則
在此基下的矩陣為
，且左上角的k階塊
就是
在W的基
下的矩陣；反之，若
在基
下的矩陣為
，則
是
的不變子空間。
不變子空間定理
設線性變換
的特徵多項式
，則V可分解成不變子空間的直和
證明思路： 令
記
。
1)證明
；
2)證明
；
3)證明
是直和，從而
也是直和；
不變子空間例題
例1 設
，
，
在基
下的矩陣為
證明 由於
，那麼
另外，由
知，
，
因此
也是
一子空間，所以
，
由
也可知，
在W的基
下的矩陣為
證明 1)
，任給
，那麼
因此
，所以
是
-子空間。
