複製鏈接
請複製以下鏈接發送給好友
https://baike.baidu.hk/item/特徵子空間/18891778
複製
複製成功

特徵子空間

鎖定
特徵子空間(characteristic subspace)是一類重要的子空間，即對應於線性變換的一特徵值的子空間。設V是域P上的線性空間，σ是V的一個線性變換，σ的對應於特徵值λ₀的全體特徵向量與零向量所成的集合。 [1] 
中文名
特徵子空間
外文名
characteristic subspace
所屬學科
數理科學
屬    性
線性變換的一特徵值的子空間

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 對角化條件
  3. 3 幾何重數與代數重數
  4. 4 例題分析與解答

特徵子空間定義

方陣
的屬於特徵值
的特徵向量是齊次線性方程組
即
的非零解。此方程組
的解集
是
的子空間，稱為
的屬於特徵值
的特徵子空間。
線性空間
上線性變換
的屬於特徵值
：的全體特徵向量與零向量構成的集合。
是
的子空間，稱為
的屬於特徵值
的特徵子空間。
只要求出了特徵子空間的
的一組基，基向量的全體非零線性組合就是全體特徵向量。
同一線性變換
(或方陣
)的屬於不同特徵值
的特徵子空間
之和是直和，屬於不同特徵值的特徵向量
線性無關。 [2] 

特徵子空間對角化條件

上線性變換
如果在某組基下的矩陣
是對角陣，就稱
可對角化。
在基M下的矩陣是對角陣
M的向量全部是
的特徵向量
各特徵子空間的直和等於
。
方陣
如果相似於對角陣，就稱
可對角化。
是對角陣
P的各列是的特徵向量：
。
可對角化
在任何一組基下的矩陣可對角化。 [2] 

特徵子空間幾何重數與代數重數

設
是方陣A的全部不同的特徵值，每個特徵值
在特徵多項式
中的重數
稱為
的代數重數，特徵子空間
的維數
稱為
幾何重數，每個特徵值
的幾何重數≥1且≤代數重數。
可對角化
所有的特徵值的幾何重數等於代數重數。
特殊情形：如果n階方陣
有n個不同的特徵值，則每個特徵值的代數重數和幾何重數都等於1，
可對角化。 [2] 

特徵子空間例題分析與解答

設
的線性變換
將
中每個方陣
送到它的轉置
。求
的特徵值和特徵向量，
是否可對角化?
解 對任意
有
，可見
是
上的恆等變換，
的屬於每個特徵值
的特徵向量
滿足
從而
，將
代入得
，從而
。
是
的屬於特徵值1的特徵向量
且
是非零對稱方陣。
是
的屬於特徵值-1的特徵向量
且
是非零斜對稱方陣。
存在一組由特徵向量組成的基：
在這組基下的矩陣是對角陣
。 [2] 
參考資料
  • 1.    《數學辭海》編輯委員會．數學辭海 第二卷：中國科學技術出版社，2002.8
  • 2.    李尚志．線性代數學習指導：中國科學技術大學出版社，2015.01