對角陣

只有對角線上有非0元素的矩陣稱為對角矩陣，或説若一個方陣除了主對角線上的元素外，其餘元素都等於零，則稱之為對角陣，其形狀為

簡記為

。 ^[1] 

對角線上的元素相等的對角矩陣稱為數量矩陣，對角線上的元素都為1的n階對角（矩）陣稱為單位（矩）陣，記作

：

主對角線以下元素都為零的方陣，稱為上三角陣，即

主對角線上方元素都為零的方陣，稱為下三角陣。

可見，對角陣既是上三角陣，又是下三角陣。

矩陣的對角線有許多性質，如做轉置運算時對角線元素不變、相似變換時對角線的和(稱為矩陣的跡)不變等。在研究矩陣時，很多時候需要將矩陣的對角線上的元素提取出來形成一個列向量，而有時又需要用一個向量構造一個對角陣。 ^[2] 

通常把對角陣分為正對角陣和反對角陣。

正對角陣，例如：

反對角陣，例如：

設A為n階方陣，若A的分塊矩陣只有在主對角線上有非零子塊，其餘子塊都為零矩陣，且非零子塊都是方陣，即

其中

都是方陣，則稱A為分塊對角陣。

如何對給定的矩陣進行分塊，完全取決於矩陣中元的形式，如果能將矩陣分成分塊對角陣，則對矩陣的各種運算必將帶來很大的便利，同時加快可以用逆陣求解的線性方程組的解決速度。 ^[3] 

1. 設

是數域P上n維線性空間V的一個線性變換，則有以下結論：

1)

在某組基下的矩陣為對角陣的充要條件是

有n個線性無關的特徵向量；

2)

屬於不同特徵值的特徵向量線性無關。

由此可得，如果

有n個互不相同的特徵值，則

在某組基下矩陣為對角陣。

特別地，複數域上的線性空間中，如果其線性變換

的特徵多項式沒有重根，則

在某組基下矩陣為對角陣。

3)如果

是

的不同特徵值，而

是線性變換

屬於特徵值

的線性無關的特徵向量，

，那麼向量組

也線性無關。

由此可得，若

是線性變換

的全部互異特徵值，則有

是直和，所以

在某基下矩陣為對角陣的充要條件是

此時，將

各取一組基，再合起來，即

的n個線性無關的特徵向量構成的基。

4)由3)可得，

在某組基下矩陣為對角陣的充要條件是

的特徵多項式(即

在任一基下矩陣的特徵多項式)的根均屬於P，且各特徵值的幾何重數等於代數重數。 ^[4] 

n階矩陣A與對角陣相似問題

1)如果A有n個線性無關的特徵向量，則A與對角陣相似。

2)設

是矩陣A的所有互異特徵值，如齊次線性方程組

的解空間維數

等於

作為特徵值的重數

，則A與對角陣相似。

3)設

是矩陣A的n個線性無關的特徵向量，相應特徵值為

(可以有相同特徵值)，取

，則有

矩陣的最小多項式與矩陣相似對角化問題

1)設

，如果多項式

使

，則稱

以A為根，也稱

為A的化零多項式。

根據哈密爾頓一凱萊定理，任意數域P上一個n階方陣A，其特徵多項式

是A的化零多項式，這一點保證了化零多項式的存在性。

稱以A為根的次數最低且首項係數為1的多項式為A的最小多項式，A的最小多項式一般記為

。

2)任一矩陣A的最小多項式都是唯一的，且最小多項式整除A的任一化零多項式。

特別地，A的最小多項式整除A的特徵多項式．此説明A的最小多項式的根都是A的特徵根。

3)A的任一特徵根都是最小多項式的根。

説明： 由2)、3)知，在不考慮重數的情況下，矩陣A的特徵多項式

與最小多項式

的根完全一致。 ^[4] 

矩陣最小多項式求法

方法1 按如下步驟進行：

步1：求解A=a₀E，若有解a₀，則λ-a₀是A的最小多項式，否則，轉步2；

步2：求解A²=a₀E+a₁A，若有解，則λ²-a₁λ-a₀是A的最小多項式，否則轉步3；

步3：求解A³=a₀E+a₁A+a₂A²，…。

以此類推。

方法2 先求出A的特徵多項式

，分解因式，再借助A的最小多項式

，通過分析

的因子，找出首一的次數最低的A的化零多項式，此即為

。

方法3 A的最小多項式是

的最後一個不變因子，據此，可利用化

為標準形的方法以求出

，此即為A的最小多項式。

注: 對準對角陣

A的最小多項式是A₁，A₂的最小多項式

的最小公倍式

[

]。

5)數域P上n階矩陣A相似於對角陣的充要條件是A的最小多項式是P上互素的一次因式之積。

特別地，複數域上矩陣A與對角陣相似的充要條件A的最小多項式無重根。(例如，若

，m是正整數，則A與對角陣相似，請讀者思考為什麼?)

6)矩陣A是數量矩陣的充要條件是其最小多項式為一次多項式。

注: 兩個矩陣相似，它們有相同的最小多項式，反之不真。 ^[4]