零矩陣

在數學中，矩陣（Matrix）是一個按照長方陣列排列的複數或實數集合 ^[1]  ，最早來自於方程組的係數及常數所構成的方陣。這一概念由19世紀英國數學家凱利首先提出。

矩陣是高等代數學中的常見工具，也常見於統計分析等應用數學學科中。在物理學中，矩陣於電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；計算機科學中，三維動畫製作也需要用到矩陣。 矩陣的運算是數值分析領域的重要問題。將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準對角矩陣，有特定的快速運算算法。關於矩陣相關理論的發展和應用，請參考矩陣理論。在天體物理、量子力學等領域，也會出現無窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。

數值分析的主要分支致力於開發矩陣計算的有效算法，這是一個幾個世紀以來的課題，是一個不斷擴大的研究領域。 矩陣分解方法簡化了理論和實際的計算。 針對特定矩陣結構（如稀疏矩陣和近角矩陣）定製的算法在有限元方法和其他計算中加快了計算。 無限矩陣發生在行星理論和原子理論中。 無限矩陣的一個簡單例子是代表一個函數的泰勒級數的導數算子的矩陣。

人類對數的認識有2個軌跡:第1個發展軌跡是對數本身的認識，在原始社會的狩獵中，用自然數1,2…，9來記錄獵物，以後又認識了分數和小數。在研究圓的半徑和周長的關係等一系列問題時，接觸到了無理數，隨後又發現了虛數。第2個發展軌跡是，用字母代表數字進行各種數學運算，從具體的數字到代數，這是一個飛躍，有了代數，數學得到了飛速發展，如函數、微積分的出現。

在代數中，就用字母代表自然數，代表有理數、複數等，也用字母代表矩陣。根據代數的定義，宜用字母表示特殊矩陣。如果用數字0（儘管是用斜體或黑體）表示零矩陣，則有悖於代數的含義，出現概念上的混亂:

1）0已有它自己的特殊含義。在阿拉伯數字0,1,2…，9中，0的意思是表示無、根本沒有。這10個數字是整個數學的基石，為數學奠定了基礎，不宜再將其他的含義賦予到其中了。

2）零矩陣是一個陣列的概念，而不是代表一個數，所以用數字0表示矩陣，意思是講不通的。

3）在GB3102. 12-1993中，規定數字均用正體、白體表示，而未出現黑體、斜體的表現形式。

零矩陣與單位矩陣相呼應。單位矩陣已習慣表達為E，即

;零矩陣也表達為O,即

。兩者相互協調一致。 ^[2] 

* m×n 的零矩陣 O 和 m×n 的任意矩陣 A 的和為 A + O = O + A = A ，差為 A - O = A，O - A = -A。

* l×m 的零矩陣 O 和 m×n 的任意矩陣 A 的積 OA 為 l×n 的零矩陣。

* l×m 的任意矩陣 B 和 m×n 的零矩陣 O 的積 BO 為 l×n 的零矩陣。

Matlab中用zeros函數產生一個零矩陣，zeros函數的使用規則：>> zeros(n)即產生一個 n*n 的零矩陣。

如：

>>zeros(5)

ans =

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

在線性代數中，對於n階方陣N，存在正整數k，使得N^k=0，這樣的方陣N就叫做冪零矩陣。滿足條件的最小的正整數k被稱為N的度數或指數。更一般來説，零權變換是向量空間的線性變換L，使得對於一些正整數k（並且因此，對於所有j≥k，Lj = 0），L^k= 0。 ^[3] 

冪零矩陣是冪零元──一個更加一般的概念的特殊情況，不僅可以應用於矩陣和線性變換，也可以應用於環的元素。