半單李代數

李代數L為半單李代數，當且僅當：

● L同構於單李代數之積。

● 嘉當-基靈型B(X,Y):=Tr(adX·adY) 非退化。

● L沒有非零的阿貝爾理想。

●其代數的根為(0)。 ^[5] 

以上等價條件任一成立。

若L定義在零特徵的域上，

設φ:L→𝖌𝖑(V)為有限維可約表示，與φ(L)交換的V的自同態只有標量。

外爾定理：半單當且僅當每個有限維表示都是完全可約表示的。 ^[5] 

設L為半單李代數。

L=[L,L]。

L的理想、商代數、積、同態像均為半單李代數。

L的任何導子都是內導子，即adL=DerL。 ^[6] 

一類重要的非結合代數。非結合代數是環論的一個分支，與結合代數有着密切聯繫。結合代數的定義中把乘法結合律刪去，就是非結合代數。 ^[1] 

李代數是挪威數學家S.李在19世紀後期研究連續變換羣時引進的一個數學概念，它與李羣的研究密切相關。在更早些時候，它曾以含蓄的形式出現在力學中，其先決條件是“無窮小變換”概念，這至少可追溯到微積分的發端時代。可用李代數語言表述的最早事實之一是關於哈密頓方程的積分問題。S.李是從探討具有r個參數的有限單羣的結構開始的，並發現李代數的四種主要類型。法國數學家É.嘉當在1894年的論文中給出變數和參變數在複數域中的全部單李代數的一個完全分類。他和德國數學家基靈都發現，全部單李代數分成4個類型和5個例外代數，É.嘉當還構造出這些例外代數。É.嘉當和德國數學家外爾還用表示論來研究李代數，後者得到一個關鍵性的結果。“李代數”這個術語是1934年由外爾引進的。隨着時間的推移，李代數在數學以及古典力學和量子力學中的地位不斷上升。到20世紀80年代，李代數不再僅僅被理解為羣論問題線性化的工具，它還是有限羣理論及線性代數中許多重要問題的來源。李代數的理論不斷得到完善和發展，其理論與方法已滲透到數學和理論物理的許多領域。

記L為域F上的線性空間，若L中除了加法和純量積，還有第三種代數運算：L×L→L，記為[x，y]，任意x，y∈L，它適合條件：

1.反對稱性　[x，x]=0，　x∈L.

2.雙線性性　[λx+μy，z]=λ[x，z]+μ[y，z]，λ，μ∈F，x，y∈L.

3.Jacobi恆等式　[[x，y]，z]+[[z，x]，y]+[[y，z]，x]=0，x，y，z∈L.

則[x，y]稱為x和y的換位運算，亦稱“方括號運算”。這時L稱為域F上李代數，簡稱李代數.當L的維數有限時，稱為有限維李代數;當L的維數無限時，稱為無限維李代數。例如，若L為域F上的結合代數，滿足結合律的乘法，記為ab，a，b∈L，則運算[a，b]=ab-ba，a，b∈L為換位運算.在此運算下，L為李代數。特別地，若L為由所有n×n矩陣構成的結合代數，則在矩陣運算下定義 ^[2] 

[A，B]=AB-BA

便構成一個n維李代數。

單李代數一類結構簡單的李代數。設L為域F上的李代數，若L的非零理想只有L本身，且[L，L]≠0，則L稱為單李代數.單李代數必為半單李代數，反之，在實數及複數的情形，半單李代數必為單理想子代數的直和，因此，研究實及復半單李代數的問題化為研究實及復單李代數。 ^[3] 

若一個李代數能表為半單李代數與阿貝爾李代數的直和，則稱之為約化李代數。半單李代數與約化李代數是李代數研究中的主要對象。一類重要的表示。可歸結為不可約表示。設(V,ρ)為李代數L的表示.若對L中任一不變子空間V₁，必存在另一不變子空間V₂，使得V=V₁+V₂為空間直和，則表示(V,ρ)稱為完全可約的。由定義，不可約表示完全可約。若(V,ρ)為L的有限維表示且完全可約，則V必可分解為不可約子模的直和V=V₁⊕V₂⊕…⊕V_s(分解的方法不一定惟一).若李代數L的任一有限維表示完全可約，則L稱為約化李代數。約化李代數為中心及單理想之直和。因此，緊李代數必為約化李代數。

S.李是挪威數學家。生於努爾菲尤爾埃德，卒於克里斯蒂安尼亞(今奧斯陸)。1865年畢業於克里斯蒂安尼亞大學。1869年獲獎學金到柏林留學，與C.F.克萊因在一起工作並結為好友。第二年在巴黎又結識了達布和若爾當，受到法國學派的影響。1871年回國在克里斯蒂安大學執教，1872年獲博士學位。1886年到萊比錫大學接替C. F.克萊因的職務主持數學講座，12年後返回挪威。1892年當選為法國科學院院士。1895年成為英國皇家學會會員。他還是許多其他科學機構的成員。S.李的主要貢獻在以他的名字命名的李羣和李代數方面。1870年，他從求解微分方程入手，依靠微分幾何方法和射影幾何方法建立起一種變換，將空間直線簇和球面一一對應。不久他發現，這種對應是連續的，能將微分方程的解表示出來並加以分類。由此S.李引入了一般的連續變換羣概念，證明了一系列定理來發展他的理論。他把微分方程的自同構羣作為工具，對二維羣和三維羣進行分類。在以後的多年中，S.李和他的助手繼續豐富完善連續羣論學説，出版了3卷本的專著《變換羣論》(1888—1893)，後人為紀念他的貢獻，將連續羣改稱“李羣”。為研究李羣，他還創立了所謂“李代數”——一種由無窮小變換構成的代數結構，並研究了二者之間的對應關係。李代數現已成為現代代數學的重要分支。此外，S.李在代數不變量理論、微分幾何學、分析基礎和函數論等方面也有建樹。S.李的工作在20世紀初由法國數學家E.嘉當等加以發展。 ^[4]