內導子

關於環上導子的研究始於波斯納（Posner），他在1957年證明了非零中心化導子的素環一定為交換環。近些年，很多學者研究了環上導子的交換性，對環的研究具有深遠影響。2002年，阿什拉夫（Ashraf）和拉赫曼（Rehaman）證明了對任意的

，都有

或

的情況。

設R是任意結合環，對於任意的

，d是環R上的可加映射，若

，則稱d為環R上的導子。

設R是素環，d是R上的一個導子，對一個固定元素a∈R，映射

是一個導子，我們稱其為R上的一個內導子。

半單李代數的導子為內導子。 ^[3] 

如果一個素環R包含一個非零的可交換的右理想，那麼R也是可交換的。

設R是一個素環，I為R的一個非零右理想，如果d是R上的一個非零導子，那麼d也是I上的一個非零導子。 ^[1] 

設R是一個素環，I為R的一個非零理想，

為R的一個內導子，其中a為R中一個固定元素，如果對任意的x，y∈I，都有

，那麼R是可交換的。

證明：（1）對任意的x，y∈I，都有

。如果

，那麼xoy=0，對任意的x，y∈I。用yz代替y得：

。利用基本恆等式得：

。所以y[x，z]=0，x，y，z∈I，從而

。由於I≠0且R是一個素環，可知[x，z]=0，x，z∈I，由引理1可知R是可交換的。

設R是一個素環，I為R的一個非零理想，

為R的一個內導子，其中a為R中一個固定元素，如果對任意的x，y∈I，都有

，那麼R是可交換的。

設R是一個素環，I 為R的一個非零理想，

為R的一個廣義內導子，

為其伴隨內導子，其中 a，b 是R中的固定元素， 並有

= 0或

≠ 0，如果對任意的 x， y ∈ I， 都

那麼R是可交換的。

證明：如果

= 0，那麼對任意的 x，y∈ I，都有xοy = 0。

用 yz 代替 y 得xο(yz) = 0，利用基本恆等式得

。所以

。從而

。由於I ≠ 0且R是一個素環，可知

，可知R是可交換的。 ^[2] 

在抽象代數中，一個導子(derivation)是代數上的函數，是導數算子的某些特徵。

明確地，給定一個環或域 k 上一個代數 A，一個 k-導子是一個 k-線性映射 D: A → A，滿足萊布尼茲法則：

。更一般地，從 A 映到 A-模 M 的一個 k-線性映射 D，滿足萊布尼茲法則也稱為一個導子。A 所有到自身的 k-導子集合記為 Derk(A)。從 A 到 A-模 M 的所有 k-導子集合記為 Derk(A,M)。

導子在不同的數學領域以許多不同的面貌出現。關於一個變量的偏導數是 Rn 上實值可微函數組成的代數上的一個 R-導子。關於一個向量場的李導數是可微流形上可微函數代數上的 R-導子;更一般地，它是流形上張量代數的導子。Pincherle 導數是一個抽象代數上的導子的例子。如果代數 A 非交換，則關於 A 中一個元素的交換子定義了 A 到自身的線性映射，這是 A 的一個 k-導子。一個代數 A 裝備一個特定的導子 d 組成了一個微分代數，這自身便是一些研究領域的一個重要對象，比如微分伽羅瓦理論。