可解李代數

若L為域F上的李代數，記：

則

為L之理想，且有

，又有

。

若存在自然數N，使得

，則L稱為可解李代數。

若L為可解李代數，則其子代數、商代數、代數擴張及同態像亦然；

若I為L的可解理想，且商代數L/I亦為可解李代數，則L本身為可解李代數；

若I與J為L的可解理想，則I+J亦然。

若R為可解李代數，則有限維單R模只能是一維的。 ^[7] 

設L為𝖌𝖑(V)的可解子代數，V為有限維向量空間，若V≠0，則對所有L中自同態，V包含共同本徵向量。

李定理：設L為𝖌𝖑(V)的可解子代數，dimV=n<∞。則L穩定V中的特定旗，即L在特定基下為上三角矩陣。

若L為可解李代數。則存在L的理想的鏈，0=L₀⊆L₁⊆...⊆L_n=L，其中dimL_i=i。

若L為可解李代數，[LL]為其導出代數，x∈[LL]，則ad_Lx為冪零元。[LL]為冪零李代數。

嘉當準則：設V為有限維向量空間，L為𝖌𝖑(V)的可解子代數。若對[LL]中任意元x與L中任意元y，均有Tr(xy)=0。則L為可解李代數。

若對李代數L中任意元y與[LL]中任意元x，均有Tr(ad x∘ad y)=0。則L為可解李代數。 ^[6] 

冪零李代數為可解李代數，但反之不一定。例如，所有域F上n階上三角方陣全體，在換位運算[A,B]=AB-BA下為可解李代數，但不是冪零李代數。 ^[2] 

數學的一個分支。傳統的代數用有字符 (變量) 的表達式進行算術運算，字符代表未知數或未定數。如果不包括除法 (用整數除除外)，則每一個表達式都是一個含有理係數的多項式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一個代數方程式 (參見EQUATION)是通過使多項式等於零來表示對變量所加的條件。如果只有一個變量，那麼滿足這一方程式的將是一定數量的實數或複數——它的根。一個代數數是某一方程式的根。代數數的理論——伽羅瓦理論是數學中最令人滿意的分支之一。建立這個理論的伽羅瓦(Evariste Galois，1811-32)在21歲時死於決鬥中。他證明了不可能有解五次方程的代數公式。用他的方法也證明了用直尺和圓規不能解決某些著名的幾何問題(立方加倍，三等分一個角)。多於一個變量的代數方程理論屬於代數幾何學，抽象代數學處理廣義的數學結構，它們與算術運算有類似之處。參見，如： 布爾代數(BOOLEAN ALGEBRA)；羣 (GRO-UPS)；矩陣(MATRICES)；四元數(QUA-TERNIONS )；向量(VECTORS)。這些結構以公理 (見公理法 AXIOMATICMETHOD) 為特徵。特別重要的是結合律和交換律。代數方法使問題的求解簡化為符號表達式的操作，已滲入數學的各分支。

設K為一交換體. 把K上的向量空間E叫做K上的代數，或叫K-代數，如果賦以從E×E到E中的雙線性映射。換言之，賦以集合E由如下三個給定的法則所定義的代數結構： ^[3] 

——記為加法的合成法則(x，y)↦x+y;

——記為乘法的第二個合成法則(x，y)↦xy;

——記為乘法的從K×E到E中的映射(α，x)↦αx，這是一個作用法則;

這三個法則滿足下列條件：

a) 賦以第一個和第三個法則，E則為K上的一個向量空間;

b) 對E的元素的任意三元組(x，y，z)，有

x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;

c)對K的任一元素偶(α，β)及對E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).

設A為一非空集合. 賦予從A到K中的全體映射之集ℱ(A，K)以如下三個法則：

則ℱ(A， K)是K上的代數， 自然地被稱為從A到K中的映射代數。當A=N時， 代數ℱ(A，K)叫做K的元素序列代數。

無論是在代數還是在分析中，代數結構都是最常見到的結構之一。十九世紀前半葉末，隨着哈密頓四元數理論的建立，非交換代數的研究已經開始。在十九世紀下半葉，隨着M.S.李的工作，非結合代數出現了。到二十世紀初，由於放棄實數體或複數體作為算子域的限制，代數得到了重大擴展。

與外代數，對稱代數，張量代數，克利福德代數等一起，代數結構在多重線性代數中也建立了起來。

一類重要的非結合代數。李代數是挪威數學家S.李在19世紀後期研究連續變換羣時引進的一個數學概念，它與李羣的研究密切相關。在更早些時候，它曾以含蓄的形式出現在力學中，其先決條件是“無窮小變換”概念，這至少可追溯到微積分的發端時代。可用李代數語言表述的最早事實之一是關於哈密頓方程的積分問題。S.李是從探討具有r個參數的有限單羣的結構開始的，並發現李代數的四種主要類型。法國數學家É.嘉當在1894年的論文中給出變數和參變數在複數域中的全部單李代數的一個完全分類。他和德國數學家基靈都發現，全部單李代數分成4個類型和5個例外代數，É.嘉當還構造出這些例外代數。É.嘉當和德國數學家外爾還用表示論來研究李代數，後者得到一個關鍵性的結果。“李代數”這個術語是1934年由外爾引進的。隨着時間的推移，李代數在數學以及古典力學和量子力學中的地位不斷上升。到20世紀80年代，李代數不再僅僅被理解為羣論問題線性化的工具，它還是有限羣理論及線性代數中許多重要問題的來源。李代數的理論不斷得到完善和發展，其理論與方法已滲透到數學和理論物理的許多領域。

記L為域F上的線性空間，若L中除了加法和純量積，還有第三種代數運算：L×L→L，記為[x，y]，x，y∈L，它適合條件：

1.反對稱性　[x，x]=0，　x∈L.

2.雙線性性　[λx+μy，z]=λ[x，z]+μ[y，z]，λ，μ∈F，x，y∈L.

3.Jacobi恆等式　[[x，y]，z]+[[z，x]，y]+[[y，z]，x]=0，x，y，z∈L.

則[x，y]稱為x和y的換位運算，亦稱“方括號運算”。這時L稱為域F上李代數，簡稱李代數。當L的維數有限時，稱為有限維李代數；當L的維數無限時，稱為無限維李代數。例如，若L為域F上的結合代數，滿足結合律的乘法，記為ab，a，b∈L，則運算[a，b]=ab-ba，a，b∈L為換位運算。在此運算下，L為李代數.特別地，若L為由所有n×n矩陣構成的結合代數，則在矩陣運算下定義： ^[4] 

[A，B]=AB-BA

便構成一個n維李代數。

類似於一般代數中的冪零代數。若L為域F上的李代數，記：

則

都是L的理想，且有

。若存在自然數N，使得

，則L稱為冪零李代數。例如，所有n階對角元素都是零的上三角方陣的全體構成冪零李代數。若李代數L的換位運算是平凡的，即[L，L]=0，則稱L為交換李代數。

S.李是挪威數學家。生於努爾菲尤爾埃德，卒於克里斯蒂安尼亞(今奧斯陸)。1865年畢業於克里斯蒂安尼亞大學。1869年獲獎學金到柏林留學，與C.F.克萊因在一起工作並結為好友。第二年在巴黎又結識了達布和若爾當，受到法國學派的影響。1871年回國在克里斯蒂安大學執教，1872年獲博士學位。1886年到萊比錫大學接替C. F.克萊因的職務主持數學講座，12年後返回挪威。1892年當選為法國科學院院士。1895年成為英國皇家學會會員。他還是許多其他科學機構的成員。S.李的主要貢獻在以他的名字命名的李羣和李代數方面。1870年，他從求解微分方程入手，依靠微分幾何方法和射影幾何方法建立起一種變換，將空間直線簇和球面一一對應。不久他發現，這種對應是連續的，能將微分方程的解表示出來並加以分類。由此S.李引入了一般的連續變換羣概念，證明了一系列定理來發展他的理論。他把微分方程的自同構羣作為工具，對二維羣和三維羣進行分類。在以後的多年中，S.李和他的助手繼續豐富完善連續羣論學説，出版了3卷本的專著《變換羣論》(1888—1893)，後人為紀念他的貢獻，將連續羣改稱“李羣”。為研究李羣，他還創立了所謂“李代數”——一種由無窮小變換構成的代數結構，並研究了二者之間的對應關係。李代數現已成為現代代數學的重要分支。此外，S.李在代數不變量理論、微分幾何學、分析基礎和函數論等方面也有建樹。S.李的工作在20世紀初由法國數學家E.嘉當等加以發展。 ^[5]