上積

上積是定義在拓撲空間奇異上鍊復形及奇異上同調羣中的一種乘法。

設 X 是一個拓撲空間，奇異上鍊復形的上積

是一個雙線性運算。對於奇異上鍊

和

，它們的上積記為

，其定義由它在奇異鏈的取值給出：對於任一

維奇異鏈

，規定

奇異上鍊復形的上積誘導了拓撲空間X各維數奇異上同調之間的一個乘法

⋃:H^p(X;R)⨂_RH^q(X;R)→H^p+q(X;R)，

稱為上同調羣的上積。 ^[3] 

在上積⋃下，H*(X;R)為分次交換含幺結合R代數。

上同調的上積不一定是交換的，對於

和

，有關係式

。因此，上同調羣的上積稱為是斜交換的。

另外，上同調羣的上積等於如下同態的複合：

其中，

是叉積，

是對角映射

誘導的同態。 ^[2] 

類似地，還有相對上同調的上積，其一般的形式為

對於一般係數羣的拓撲空間奇異上鍊復形及奇異上同調羣，當係數羣是一個交換羣時，亦可定義其上積。 ^[1]