對角映射

對角映射(diagonal mapping)是標準內射的和。設E，F是特徵不為2的域K上的向量空間，

是標準內射。若E=F，則稱Δ=i₁+i₂： E→E⊕E是對角映射。記Δ在外代數上的誘導同態為Δ：∧(E⊕E)→∧E，其中E為E的對偶空間，∧(E⊕E)∧E∧E(表示代數的反可換張量積)，從而有u∧v=Δ(uv)，u，v∈∧E。因此，Δ即∧E的結構映射。

結構映射是一類特殊的映射。刻畫代數中乘法或賦予向量空間一個乘法的映射。若A是一個代數，乘法A×A→A確定一個線性映射μ_A：A

A→A，使μ_A(x

y)=xy，μ_A則稱之為結構映射。若A是一個向量空間，μ_A：A

A→A是一個線性映射，定義xy=μ_A(x

y)，則在A中誘導一個乘法，使A成為一個代數。這表明在A的乘法與結構映射之間存在一個一一對應。 ^[1] 

在數學裏，映射是個術語，指兩個元素的集之間元素相互“對應”的關係，為名詞。映射，或者射影，在數學及相關的領域經常等同於函數。 基於此，部分映射就相當於部分函數，而完全映射相當於完全函數。

兩個非空集合A與B間存在着對應關係f，而且對於A中的每一個元素x，B中總有有唯一的一個元素y與它對應，就這種對應為從A到B的映射，記作f：A→B。其中，b稱為元素a在映射f下的象，記作：b=f(a)。a稱為b關於映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合稱為映射f的值域，記作f(A)。

或者説，設A,B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y與之對應，那麼就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的一個映射。

映射，或者射影，在數學及相關的領域還用於定義函數。函數是從非空數集到非空數集的映射，而且只能是一對一映射或多對一映射。

映射在不同的領域有很多的名稱，它們的本質是相同的。如函數，算子等等。這裏要説明，函數是兩個數集之間的映射，其他的映射並非函數。一一映射(雙射)是映射中特殊的一種，即兩集合元素間的唯一對應，通俗來講就是一個對一個（一對一）。

注意：(1)對於A中不同的元素，在B中不一定有不同的象；（2）B中每個元素都有原象（即滿射），且集合A中不同的元素在集合B中都有不同的象（即單射），則稱映射f建立了集合A和集合B之間的一個一一對應關係，也稱f是A到B上的一一映射。

向量空間又稱線性空間，是線性代數的中心內容和基本概念之一。在解析幾何裏引入向量概念後，使許多問題的處理變得更為簡潔和清晰，在此基礎上的進一步抽象化，形成了與域相聯繫的向量空間概念。譬如，實係數多項式的集合在定義適當的運算後構成向量空間，在代數上處理是方便的。單變元實函數的集合在定義適當的運算後，也構成向量空間，研究此類函數向量空間的數學分支稱為泛函分析。

向量空間它的理論和方法在科學技術的各個領域都有廣泛的應用。

設V是一個非空集合，P是一個域。若：

1.在V中定義了一種運算，稱為加法，即對V中任意兩個元素α與β都按某一法則對應於V內惟一確定的一個元素α+β，稱為α與β的和。

2.在P與V的元素間定義了一種運算，稱為純量乘法(亦稱數量乘法)，即對V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法則對應V內惟一確定的一個元素kα，稱為k與α的積。

3.加法與純量乘法滿足以下條件：

1) α+β=β+α，對任意α，β∈V。

2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，對任意α，β，γ∈V。

3) 存在一個元素0∈V，對一切α∈V有α+0=α，元素0稱為V的零元。

4) 對任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β稱為α的負元素，記為-α。

5) 對P中單位元1，有1α=α(α∈V)。

6) 對任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα)。

7) 對任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα。

8) 對任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，

則稱V為域P上的一個線性空間，或向量空間。V中元素稱為向量，V的零元稱為零向量，P稱為線性空間的基域。當P是實數域時，V稱為實線性空間。當P是複數域時，V稱為複線性空間。例如，若V為三維幾何空間中全體向量(有向線段)構成的集合，P為實數域R，則V關於向量加法(即平行四邊形法則)和數與向量的乘法構成實數域R上的線性空間。又如，若V為數域P上全體m×n矩陣組成的集合Mmn(P)，V的加法與純量乘法分別為矩陣的加法和數與矩陣的乘法，則Mmn(P)是數域P上的線性空間。V中向量就是m×n矩陣。再如，域P上所有n元向量(a₁，a₂，…，a_n)構成的集合P對於加法：(a₁，a₂，…，a_n)+(b₁，b₂，…，b_n)=(a₁+b₁，a₂+b₂，…，a_n+b_n)與純量乘法：λ(a₁，a₂，…，a_n)=(λa₁，λa₂，…，λa_n)構成域P上的線性空間，稱為域P上n元向量空間。 ^[2] 

線性空間是在考察了大量的數學對象(如幾何學與物理學中的向量，代數學中的n元向量、矩陣、多項式，分析學中的函數等)的本質屬性後抽象出來的數學概念，近代數學中不少的研究對象，如賦範線性空間、模等都與線性空間有着密切的關係。它的理論與方法已經滲透到自然科學、工程技術的許多領域。哈密頓(Hamilton，W.R.)首先引進向量一詞，並開創了向量理論和向量計算。格拉斯曼(Grassmann，H.G.)最早提出多維歐幾里得空間的系統理論。1844—1847年，他與柯西(Cauchy，A.-L.)分別提出了脱離一切空間直觀的、成為一個純粹數學概念的、抽象的n維空間。特普利茨(Toeplitz，O.)將線性代數的主要定理推廣到任意域上的一般的線性空間中。