完全映射

完全映射(perfect mapping)亦稱完備映射。一類重要的映射。設X，Y為拓撲空間，映射f：X→Y。若對於任意y∈Y，f(y)是X的緊集，則稱f為緊映射。若f是緊的、閉的且連續的映射，則稱f為完全映射。緊空間到豪斯多夫空間的連續映射是完全映射。在完全映射下緊集的原像是緊集。兩個完全映射的複合映射是完全映射。完全映射在閉集上的限制是完全映射.若f_s：X_s→Y_s(s∈D)的直積為：

則f是完全映射的充分必要條件是，所有f_s是完全映射。在完全映射下，拓撲空間的T_i(i=2，3，4，5，6)分離性是不變性。局部緊性與可度量性也是完全映射的不變性。正則性、緊性、局部緊性是完全映射的逆不變性。完全映射首先由維因希捷依(Baǔнщтeǔн，И.A.)於1947年對於度量空間的情形引入的。勒雷(Leray，J.)與布爾巴基(Bourbaki，N.)於1950-1951年對於局部緊空間情形獨立地引入並研究了完全映射。 ^[1] 

在數學裏，映射是個術語，指兩個元素的集之間元素相互“對應”的關係，為名詞。映射，或者射影，在數學及相關的領域經常等同於函數。 基於此，部分映射就相當於部分函數，而完全映射相當於完全函數。

兩個非空集合A與B間存在着對應關係f，而且對於A中的每一個元素x，B中總有有唯一的一個元素y與它對應，就這種對應為從A到B的映射，記作f：A→B。其中，b稱為元素a在映射f下的象，記作：b=f(a)。a稱為b關於映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合稱為映射f的值域，記作f(A)。

或者説，設A,B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y與之對應，那麼就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的一個映射。

映射，或者射影，在數學及相關的領域還用於定義函數。函數是從非空數集到非空數集的映射，而且只能是一對一映射或多對一映射。

映射在不同的領域有很多的名稱，它們的本質是相同的。如函數，算子等等。這裏要説明，函數是兩個數集之間的映射，其他的映射並非函數。一一映射(雙射)是映射中特殊的一種，即兩集合元素間的唯一對應，通俗來講就是一個對一個（一對一）。

注意：(1)對於A中不同的元素，在B中不一定有不同的象；（2）B中每個元素都有原象（即滿射），且集合A中不同的元素在集合B中都有不同的象（即單射），則稱映射f建立了集合A和集合B之間的一個一一對應關係，也稱f是A到B上的一一映射。

歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裏斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。

20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲羣的積分及其應用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。

此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。

亦稱緊緻空間。最重要的一類拓撲空間。若拓撲空間X的任意開覆蓋都有有限子覆蓋，則稱X為緊空間。下列條件分別與緊性是等價的：

1.具有有限交性質的閉集族有非空交。

2.具有有限交性質的集族其各成員之閉包的交非空。

3.任意網有聚點。

4.任意濾子有聚點。

5.任意極大濾子是收斂濾子。

平凡空間、有限補空間都是緊空間，但實直線不是緊的。緊性是閉遺傳的且具有可積性。緊空間的連續像是緊空間。緊豪斯多夫空間是正規空間。

緊性概念起源於在1894年被證明的波萊爾定理：閉區間的任意可數開覆蓋有有限子覆蓋。勒貝格(Lebesgue，H.L.)注意到該定理對閉區間的任意開覆蓋同樣成立。波萊爾(Borel，(F.-É.-J.-)É.)於1903年又將此結果推廣到歐氏空間的有界閉子集上。亞尼謝夫斯基(Janiszewski，Z.)於1912年對於抽象空間曾用過緊性概念。緊空間的概念是菲托里斯(Vietoris，I.)於1921年引入的。在緊空間理論形成和發展過程中，庫拉托夫斯基(Kuratowski，K.)和謝爾品斯基(Sierpiski，W.)於1921年，薩克斯(Saks，S.)於1921年，亞歷山德羅夫(Александров，П.С.)和烏雷松(Урысон，П.С.)於1923年，吉洪諾夫(Тихонов，А.Н.)於1930年，都先後作出了卓越的貢獻。 ^[1]