奇異上同調

奇異上同調(singular cohomology)一種上同調羣.設(X,A)是空間偶，G是任意交換羣.記C(X,A)表示(X,A)的奇異鏈復形.定義(X,A)的係數在G中的q維奇異上鍊羣

CY(X,A;C)=Hom(C4(X,A) ,G)，

這裏Hom(CQ(X,A),G)表示羣C,,(X,A)到G的全體同態之集，它依照以G中誘導的二元運算成為一個交換羣;上邊緣算子

佔:( % (A;G)~CY+1(X,A;G)

定義為C(X,A)中邊緣算子的對偶.即對於

C4任CI (A;G)，(c")=CY。漢

於是，{C4(X,A;G),qEZ是一個鏈復形，其q維同調羣稱為(X,A)的係數在G中的q維奇異上同調羣，記為Hq(X,A;G).係數在交換羣G中的奇異上同調滿足係數在交換羣G中的上同調理論的所有公理.與奇異同調理論類似，奇異上同調理論也是將每個拓撲空間(偶)聯繫上一系列交換羣，稱為上同調羣.從純代數觀點看，它的引人似乎更為自然.上同調理論可用於研究流形上的微分形式.此外，當係數羣是一個有單位元的交換環時，上同調羣上有一種自然的環結構，即上同調環，這是同調羣上所沒有的.