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逆映射
鎖定
- 中文名
- 逆映射
- 外文名
- pre-image
- 學 科
- 數學
- 前 提
- 必須是一一對應的單射
- 相關概念
- 單射、滿射
- 判 定
- f是可逆映射,必要且只要f是雙射
逆映射定義
(1)單射:設f是集合A到集合B的一個映射,如果對於任意a,b屬於A,當a不等於b時有f(a)不等於f(b),則稱f是A到B內的單映射 。
(2)滿射:如果對任意的b屬於B都有一個a屬於A使得f(a)=b,則稱f是A到B上的映射,或稱f是A到B的滿映射。
(3)逆映射:設有映射f:A->B,如果存在映射g:B->A使得g*f=IA,f*g=IB其中IA、IB分別是A與B上的恆等映射,則稱g為f的逆映射。
逆映射,用較為通俗但不太嚴格的語言來表述,就是:設有映射f:A—B,若存在映射g:B—A,使得:
1)先執行f,再執行g,執行的結果是gf:A—A,即gf等於A上的恆等映射 ;
2)先執行g,再執行f,執行的結果是fg:B—B,即fg等於B上的恆等映射,則g叫做f的逆映射。畫一個圖,更直觀。
設f:A→B,如果有g:B→A使得g。f=
,f。g=
。則説f是可逆映射。
逆映射性質
設f:A→B是可逆映射,那麼使得g。f=
,f。g=
的g:B→A是由f唯一確定的(此時記g=
)。
證:如果還有h:B→A使g。h=
,f。h=
,那麼可得(g。f)。h=g。(f。h) 但(g。f)。h=
。h=h,g。(f。h)=g。
=g,從而h=g.
。當f:A→B可逆時,這個由f唯一確定的映射:B→A即稱為f的逆映射。
逆映射判定
映射f:A→B是可逆映射,必要且只要f是雙射。
證明:如果f是可逆映射,那麼,應有映射g:B→A使得g。f=
,f。g=
。由於恆等映射
是單的,則易證f是單射。由於恆等映射
是單的,則易證f是滿射。所以 f是雙射。
反過來,如果f:A→B是個雙射,對任意b
B,由於f為雙射,故必有且只有一個a
A使f(a)=b。則按這個規則,B中每一個元素b都有且只有一個a
A與之對應。這個規則(也就是B到A的一個映射)記為g,則g:B→A對任意b
B,g(b)=a,f(a)=b。
則對任意b
B,設f(a)=b則(f。g)(b)=f(g(b))=f(a)=b=
(b),也就是f。g=
。