阿貝爾定理

（1）若冪級數①

在

處收斂，則冪級數①在

都絕對收斂。

（2）若冪級數①

在

處發散，則冪級數①在

都發散。

如果冪級數

不是僅在

一點收斂，也不是在整個數軸上都收斂，那麼必有一個確定的正數

存在，使得

當

時，冪級數絕對收斂；

當

時，冪級數發散；

當

時，冪級數可能收斂也可能發散。

定理2

有冪級數①，即

，若

則冪級數①的收斂半徑為

定理3（阿貝爾第二定理）

若冪級數①的收斂半徑

，則冪級數①在任意閉區間

都一致收斂。

性質1

若冪級數

與

的收斂半徑分別是正數

與

，則r1=r2

性質2

若冪級數

的收斂半徑

，則它的和函數

在區間

連續。

如果在x=r處，冪級數收斂，則其和函數在x=r處左連續。

如果在x=-r處，冪級數收斂，則其和函數在x=-r處右連續。

性質3

若冪級數

的收斂半徑

,則它的和函數

由0 到x 可積，且可逐項積分，即

性質4

若冪級數的收斂半徑

,

則它的和函數

在區間

可導，且可逐項微分

阿貝爾與橢圓函數

橢圓函數是從橢圓積分來的。早在18世紀，從研究物理、天文、幾何學的許多問題中經常導出一些不能用初等函數表示的積分，這些積分與計算橢圓弧長的積分往往具有某種形式上的共同性，橢圓積分就是如此得名的。19世紀初，橢圓積分方面的權威是法國科學院的耆宿、德高望重的勒讓得（A.M.Legen-dre，1752－1833）。他研究這個題材長達40年之久，他從前輩工作中引出許多新的推斷，組織了許多常規的數學論題，但他並沒有增進任何基本思想，他把這項研究引到了“山重水複疑無路”的境地。也正是阿貝爾，使勒讓得在這方面所研究的一切黯然失色，開拓了“柳暗花明”的前途。

關鍵來自一個簡單的類比。微積分中有一條眾所周知的公式上式左邊那個不定積分的反函數就是三角函數。不難看出，橢圓積分與上述不定積分具有某種形式的對應性，因此，如果考慮橢圓積分的反函數，則它就應與三角函數也具有某種形式的對應性。既然研究三角函數要比表示為不定積分的反三角函數容易得多，那麼對應地研究橢圓積分的反函數（後來就稱為橢圓函數）不也應該比橢圓積分本身容易得多嗎？

“倒過來”，這一思想非常優美，也的確非常簡單、平凡。但勒讓得苦苦思索40年，卻從來沒有想到過它。科學史上並不乏這樣的例證“優美、簡單、深刻、富有成果的思想，需要的並不是知識和經驗的單純積累，不是深思熟慮的推理，不是對研究題材的反覆咀嚼，需要的是一種能夠穿透一切障礙深入問題根柢的非凡的洞察力，這大概就是人們所説的天才吧。“倒過來”的想法像閃電一樣照徹了這一題材的奧秘，憑藉這一思想，阿貝爾高屋建瓴，勢如破竹地推進他的研究。他得出了橢圓函數的基本性質，找到了與三角函數中的π有相似作用的常數K，證明了橢圓函數的週期性。他建立了橢圓函數的加法定理，藉助於這一定理，又將橢圓函數拓廣到整個復域，並因而發現這些函數是雙週期的，這是別開生面的新發現；他進一步提出一種更普遍更困難類型的積分——阿貝爾積分，並獲得了這方面的一個關鍵性定理，即著名的阿貝爾基本定理，它是橢圓積分加法定理的一個很寬的推廣。至於阿貝爾積分的反演——阿貝爾函數，則是不久後由黎曼（B.Riemann，1826－1866）首先提出並加以深入研究的。事實上，阿貝爾發現了一片廣袤的沃土，他個人不可能在短時間內把這片沃土全部開墾完畢，用埃爾米特（Hermite）的話來説，“阿貝爾留下的後繼工作，夠數學家們忙上五百年”。阿貝爾把這些豐富的成果整理成一長篇論文《論一類極廣泛的超越函數的一般性質》。此時他已經把高斯置諸腦後，放棄了訪問哥延根的打算，而把希望寄託在法國的數學家身上。他婉辭了克雷勒勸其定居柏林的建議後，便啓程前往巴黎。在這世界最繁華的大都會里， 薈萃着像柯西（A.L.Cauchy，1789－1857）、勒讓得、拉普拉斯（P.S.LapLace，1749－1827）、傅立葉（I.Fourier，1768－1830）、泊松（S.D.Poisson，1781－1840）這樣一些久負盛名的數字巨擘，阿貝爾相信他將在那裏找到知音。

設

為一冪級數，其收斂半徑為R。若對收斂圓（模長為 R的複數的集合）上的某個複數

，級數收斂，則有:

。

若

收斂，則結果顯然成立，無須引用這定理。

阿貝爾定理的一個有用應用是計算已知收斂級數。方法是通過在級數每項後加上

項，將問題轉換為冪級數求和，最後再計算 x趨於1 時冪級數的極限。由阿貝爾定理可知，這個極限就是原級數的和。

1. 為計算收斂級數

，設

於是有

2. 為計算收斂級數

，設

因此有