橢圓積分

在積分學中，橢圓積分最初出現於橢圓的弧長有關的問題中。Guilio Fagnano和歐拉是最早的研究者。現代數學將橢圓積分定義為可以表達為如下形式的任何函數f的積分 ^[1] 

其中R是其兩個參數的有理函數，P是一個無重根的3或4階多項式，而c是一個常數。

通常，橢圓積分不能用基本函數表達。這個一般規則的例外出現在P有重根的時候，或者是R,

沒有 y的奇數冪時。但是，通過適當的簡化公式，每個橢圓積分可以變為只涉及有理函數和三個經典形式的積分。（也即，第一，第二，和第三類的橢圓積分）。

除下面給出的形式之外，橢圓積分也可以表達為勒讓德形式和Carlson對稱形式。通過對施瓦茨-克里斯托費爾映射的研究可以加深對橢圓積分理論的理解。歷史上，橢圓函數是作為橢圓積分的逆函數被發現的，特別是這一個：

其中

是雅可比橢圓函數之一。

橢圓積分通常表述為不同變量的函數。這些變量完全等價（它們給出同樣的橢圓積分），但是它們看起來很不相同。很多文獻使用單一一種標準命名規則。在定義積分之前，先來檢視一下這些變量的命名常規： ^[2] 

橢圓模;

參數;

上述三種常規完全互相確定。規定其中一個和規定另外一個一樣。橢圓積分也依賴於另一個變量，可以有如下幾種不同的設定方法：

其中

，其中

而

是雅可比橢圓函數之一

規定其中一個決定另外兩個。這樣，它們可以互換地使用。注意

也依賴於 m。其它包含

的關係有

和

後者有時稱為δ幅度並寫作

。有時文獻也稱之為補參數，補模或者補模角。這些在四分週期中有進一步的定義

第一類不完全橢圓積分F定義為 ^[3] 

與此等價，用雅可比的形式，可以設

；則

其中，假定任何有豎直條出現的地方，緊跟豎直條的變量是（如上定義的）參數；而且，當反斜槓出現的時候，跟着出現的是模角。 在這個意義下，

，這裏的記法來自標準參考書Abramowitz and Stegun。

但是，還有許多不同的用於橢圓積分的記法。取值為橢圓積分的函數沒有（象平方根，正弦和誤差函數那樣的）標準和唯一的名字。

注意

其中u如上文所定義：由此可見，雅可比橢圓函數是橢圓積分的逆。

第二類不完全橢圓積分E是

與此等價，採用另外一個記法（作變量替換

），

其它關係包括

第三類不完全橢圓積分是

或者

或者

數字n稱為特徵數，可以取任意值，和其它參數獨立。但是要注意

對於任意m是無窮的。

第一類完全橢圓積分K(k^2)

如果幅度為

或者 x=1，則稱橢圓積分為完全的。第一類完全橢圓積分K可以定義為

或者

它是第一類不完全橢圓積分的特例：

第一類完全橢圓積分有時稱為四分週期。它可以利用算術幾何平均值來快速計算。

第二類完全橢圓積分E(k^2)

第二類完全橢圓積分E可以定義為

或者

它是第二類不完全橢圓積分的特殊情況：

不同 n值的第三類完全橢圓積分

第三類完全橢圓積分可以定義為

注意有時第三類橢圓積分被定義為帶相反符號的n，也即

勒讓得關係: