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雅可比橢圓函數
鎖定
目錄
雅可比橢圓函數雅可比橢圓函數的定義
雅可比橢圓函數有十二種,各對映到某個矩形的頂點連線。此諸頂點記作
。
表列如次:
函數 | 週期 | 零點 | 極點 | |
---|---|---|---|---|
與 是整數 |
一般而言,須以平行四邊形代替上述矩形,以考慮更一般的週期。
雅可比橢圓函數雅可比橢圓函數的性質
特殊點的值
z | 0 | K/2 | K | iK'/2 | K+iK'/2 | iK' | K+iK' |
sn(z) | 0 | (1+k'^2)^(-1/2) | 1 | ik^(-1/2) | k^(-1/2) | ∞ | 1/k |
cn(z) | 1 | sqr(k'/(1+k')) | 0 | sqr((k+1)/k) | -sqr((k-1)/k) | ∞ | -ik'/k |
dn(z) | 1 | k'^(1/2) | k' | sqr(1+k) | sqr(1-k) | ∞ | 0 |
sn(mK+niK±z)誘導公式表
╲m n╲ | -1 | 0 | 1 | 2 | 2p |
-1 | -dn(z)/(k*cn(z)) | ±1/(k*sn(z)) | dn(z)/(k*cn(z)) | 負正1/(k*sn(z)) | |
0 | -cn(z)/dn(z) | ±sn(z) | cn(z)/dn(z) | 負正sn(z) | |
1 | -dn(z)/(k*cn(z)) | ±1/(k*sn(z)) | dn(z)/(k*cn(z)) | 負正1/(k*sn(z)) | |
2 | -cn(z)/dn(z) | ±sn(z) | cn(z)/dn(z) | 負正sn(z) | |
2q | (-1)^p*sn(z) |
cn(mK+niK±z)
╲m n╲ | -1 | 0 | 1 | 2 | 2p |
-1 | -(ik')/(kcn(z)) | ±(idn(z))/(ksn(z)) | (ik')/(kcn(z)) | 負正(idn(z))/(ksn(z)) | |
0 | ±(k'sn(z))/dn(z) | cn(z) | 負正(k'sn(z))/dn(z) | -cn(z) | |
1 | (ik')/(kcn(z)) | 負正(idn(z))/(ksn(z)) | -(ik')/(kcn(z)) | ±(idn(z))/(ksn(z)) | |
2 | 負正(k'sn(z))/dn(z) | -cn(z) | ±(k'sn(z))/dn(z) | cn(z) | |
2q | (-1)^(p+q)*cn(z) |
dn(mK+niK±z)
╲m n╲ | -1 | 0 | 1 | 2 | p |
-1 | 負正(ik'sn(z))/cn(z) | ±(icn(z))/sn(z) | 負正(ik'sn(z))/cn(z) | ±(icn(z))/sn(z) | |
0 | k'/dn(z) | dn(z) | k'/dn(z) | dn(z) | |
1 | ±(ik'sn(z))/cn(z) | 負正(icn(z))/sn(z) | ±(ik'sn(z))/cn(z) | 負正(icn(z))/sn(z) | |
2 | -k'/dn(z) | -dn(z) | -k'/dn(z) | -dn(z) | |
q | (-1)^q*dn(z) |
基本關係
雅可比橢圓函數加法定理
雅可比橢圓函數函數的平方之間的關係
雅可比橢圓函數反函數
雅可比橢圓函數用Θ函數來定義
雅可比橢圓函數常微分方程的解[編輯]
三個基本的雅可比橢圓函數的導數為:
根據以上的加法定理,可知它們是以下非線性常微分方程的解
[3]
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- 參考資料
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- 1. E. T. Whittaker and G. N. Watson A Course of Modern Analysis, (1940, 1996) Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3
- 2. Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
- 3. A. C. Dixon The elementary properties of the elliptic functions, with examples (Macmillan, 1894)
- 4. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. 1972. ISBN 0-486-61272-4. 見 第16章