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橢圓曲線
(代數曲線)
鎖定
- 中文名
- 橢圓曲線
- 外文名
- elliptic curve
- 適用範圍
- 數理科學
- 定 義
- 域上虧格為1的光滑射影曲線
橢圓曲線定義
如果這個域的特徵不等於2和3,則可以改寫成
或
總之,橢圓曲線是代數幾何中最重要的一類研究對象。
橢圓曲線羣結構
橢圓曲線上的點全體構成一個加法羣, 點與點之間的“加法”運算。 正因為橢圓曲線存在加法結構,所以它包含了很多重要的數論信息。橢圓曲線和它的雅可比簇是同構的,所以它上面的“加法”結構實際上來自於它的雅可比簇的自然加法結構。
[1]
橢圓曲線上的有理點的個數也是人們關心的重要問題,這個問題和著名的Mordell-Weil定理有關。Mordell-Weil定理是説:橢圓曲線上有理點構成的羣是有限生成的。另一方面,橢圓曲線上的整點只有有限多個,這個定理被稱為Siegel定理。
通過以下實例,可以更好的理解上述兩個定理:橢圓曲線
上,僅有16個整點:(-2,3),(-1,4),(2,5),(4,9),(8,23),(43,282),(52,375),(5234,378661),以及它們關於x軸的對稱點,而其上所有的有理點可以由(-2,3),(2,5)通過羣上的加法生成。
更一般地,整體域上的橢圓曲線的點總構成有限生成交換羣。
橢圓曲線相交理論
Bezout定理告訴我們, 兩條光滑橢圓曲線相交於9個點(切點重複計算)。 進一步,如果有第三條光滑橢圓曲線經過其中的8個交點,那它必定經過第九個點。這是古典代數幾何中的一個重要的結論。歐拉對此問題也有過考慮。
作為推廣,X.諾特(Noether)曾經得到了更一般的代數曲線交點的類似結論。 這個問題和代數曲面上秩2向量叢的半穩定性有着深刻的內在聯繫。 談勝利利用秩2向量叢的Bogomolov不等式, 將此問題推廣到最一般的情形。
橢圓曲線退化情形
橢圓曲線模性
模性是指整體域上橢圓曲線的L函數等於某一個自守形式的L函數,這是Langlands綱領的一部分。Wiles在其1995年重要工作中證明了有理數域上的半穩定橢圓曲線是模的,並由此推出了費馬大定理。
[2]
Drinfeld,Deligne,Zarhin等人證明了函數域上的模性。