BSD猜想

給定一個整體域上的阿貝爾簇，猜想它的莫代爾羣的秩等於它的L函數在1處的零點階數，且它的L函數在1處的泰勒展開的首項係數與莫代爾羣的有限部分大小、自由部分體積、所有素位的週期以及沙羣有精確的等式關係。

前半部分通常稱為弱BSD猜想。BSD猜想是分圓域的類數公式的推廣。格羅斯提出了一個細化的BSD猜想。布洛克和加藤提出了更一般的對於motif的Bloch-Kato猜想。 ^[1] 

BSD猜想的陳述依賴於莫代爾定理：整體域上的阿貝爾簇的有理點形成一個有限生成交換羣。精確的部分依賴於沙羣的有限性猜想。

對於解析秩為0的情形，Coates，Wiles，Kolyvagin，Rubin，Skinner，Urban等人證明了弱BSD猜想，並且精確的BSD猜想在2以外均成立。 ^[2-3] 

對於解析秩為1的情形，Gross，Zagier等人證明了弱BSD猜想，並且精確的BSD猜想在2和導子以外均成立。

由BSD猜想可以推出奇偶性猜想、西爾維斯特猜想等很多猜想。其中最著名的是與同餘數問題的關係，從BSD猜想可以推出模8餘5，6，7的無平方因子的正整數一定可以成為某個有理邊長直角三角形的面積。