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同餘數
鎖定
同餘數是一個三條邊均為有理數的直角三角形的面積。
[1]
換一種説法,如果有三個正有理數x,y,z,滿足條件x²+y²=z²,1/2xy=N,則N為同餘數。若正整數N是同餘數,則N稱為整同餘數。
[2]
- 中文名
- 同餘數
- 外文名
- congruent number
- 含 義
- 是邊均為有理數的三角形的面積
- 條 件
- N是同餘數,x²+y²=z²,N=1/2xy
- 意 義
- 三大千年數論難題之一
- 學 科
- 數學
同餘數定義
例如:6是同餘數,因為它是三邊邊長3、4、5的直角三角形的面積。5也是同餘數,因為它是邊長為
的直角三角形的面積。
同餘數整同餘數
如果正整數n是同餘數,那麼,n稱為整同餘數。
設n是正有理數,且對
,這裏s是正有理數,而r是無平方因子的正整數,那麼n是同餘數當且僅當r是同餘數。
同餘數本原同餘數
如果一個A 是不含平方因子的整同餘數,則 A 稱為本原同餘數。
同餘數重要結論
定理:n是整同餘數的充要條件是存在正整數a,b,v,使得:
推論:若不定方程
沒有正整數解
,則n不是同餘數。
同餘數應用舉例
例1 試證明:1不是同餘數
例2 試證7是同餘數
證明:在
中,取
,得
,故7是同餘數
例3 設k為正整數,試證
不是同餘數
同餘數歷史發展
同餘數問題在數學界被稱為三大千年數論難題之一(另外兩個是完全數問題與三次和三次以上丟番圖方程有解問題)。古阿拉伯人是通過研究直角三角形的面積提出同餘數問題的。對於直角三角形,人們已經知道,它的三邊滿足方程
,這就是我們所説的的勾股定理(在國外又被稱為畢達哥拉斯定理)。當直角三角形的三邊
為有理數,若直角三角形的面積
為正整數,這樣的
就是古阿拉伯人所欲求得的同餘數。
早在一千多年前的一份阿拉伯手稿中,提出了這樣一個問題:一個正整數n何時能成為一個一個由三個有理平方數形成的等差數列的公差,也就是説
都是平方數。這與前面的定義是等價的,因為
形成我們想要的等差數列。反過來,若
,則
形成一個面積為
的有理直角三角形。這便是同餘數名稱的由來。容易看出,乘上一個平方數不影響一個數是否成為同餘數。所以人們常常假設n不含平方因子。在阿拉伯人的手稿中,給出了34個同餘數,其中,不含平方因子的有30個:
以後的古希臘人,也曾在同餘數問題上得到了一些具體的結果。
同餘數研究成果
經典結果
到了十七世紀,法國大數學家費爾馬開始對同餘數問題進行系統地研究,首先,他把古阿拉伯人的研究方法改造為一個定理:正整數n是同餘數當且僅當方程組
具有y≠0的整數解。這就使初等數論理論開始應用到同餘數問題的研究之中,運用他自己發明的無窮遞降法,費爾馬證明了1 ,2 ,3 不是同餘數。其中1不是同餘數等價於方冪等於4的費馬大定理,即
沒有整數解。這也是最早出現的對非同餘數的研究成果。萊昂哈德·歐拉(Euler)第一個證明了7是同餘數。
公元972年,在一份阿拉伯手稿中,提出了這樣一個問題:一個正整數n何時能成為一個一個由三個有理平方數形成的等差數列的公差,也就是説x-n,x,x+n都是平方數。
十三世紀,意大利數學家斐波那契指出5和7是同餘數,他也猜想1、2、3不是同餘數,但未能給出證明。
直到1659年,法國大數學家費爾馬運用他自己發明的無窮下降法證明了1、2、3不是同餘數。
十八世紀,大數學家歐拉首次證明了7是同餘數。
1952年,Heegner證明了任意模8餘5、7的素數和任意模4餘3的素數的兩倍均為同餘數。
2000年,美國克雷數學研究所公佈了千禧年七大數學難題,每破解其中一個難題者將獲得100萬美元的獎金。其中就有著名的BSD猜想(全稱Birch and Swinnerton-Dyer猜想),而這個猜想與同餘數問題有緊密的聯繫。
與橢圓曲線關係
把這個定理與橢圓曲線理論相聯繫,使人們對同餘數問題的研究有了重大的進展,不過人們同時也發現,用這個定理去求解一個具體的同餘數仍然非常地困難。例如,人們已知157是同餘數,但在方程
的最小解
中,x的分母和分子都近100位,它對應的直角三角形的斜邊為
[6]
猜想性的判定法則
Tunnell證明了在假設BSD猜想的前提下,若n是奇數,定義
則n是同餘數等價於a(n)=0。由於解析秩為0的情形已經被證明,因此a(n)不等於0能推出n不是同餘數。利用這種方法,可以有效地驗證一個非同餘數。
2下降法
與特殊值公式的關係
50%-50%猜想
人們猜想,幾乎所有的模8餘5,6,7的平方自由的正整數對應的橢圓曲線秩為1,幾乎所有的模8餘1,2,3的平方自由的正整數對應的橢圓曲線秩為0。也就是説所有的同餘橢圓曲線中有50%秩為0,50%秩為1。田野首次證明了秩為0和秩為1的百分比均大於0,相關文章尚未發表。
- 參考資料
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- 1. 王元. 同餘數問題與橢圓曲線[J]. 數學通報, 2004(11).
- 2. 管訓貴. 同餘數的一個充要條件[J]. 唐山學院學報, 2009, 22(6):7-7.
- 3. 潘承洞, 潘承彪. 初等數論-第2版[M]. 北京大學出版社, 2003.
- 4. 院先進集體和先進個人 .中國科學院[引用日期2017-06-02]
- 5. 馮克勤.非同餘數和秩零橢圓曲線:中國科學技術大學出版社,2008-11
- 6. Joseph H. Silverman.The Arithmetic of Elliptic Curves:Springer,1986
- 7. Congruent Numbers and Heegner Points .Arxiv.org[引用日期2014-03-25]
- 8. 難題懸賞100萬美元 中國41歲數學家給出線索 .新聞-央視網.2012-01-19[引用日期2013-05-20]
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