阿貝爾簇

阿貝爾簇是一個代數羣，它同時又是完全代數簇。完全性的條件藴涵着對阿貝爾簇的嚴格限制。因而阿貝爾簇可以作為閉子簇嵌入射影空間；非奇異簇道阿貝爾簇道每個有理映射都是正則的，阿貝爾簇上的羣律是可交換的。

複數域上的阿貝爾簇理論，本質上等價由雅可比（C.G.J,Jacobi)，阿貝爾(N.H.Abel)及黎曼 (B.Riemann) 建立的阿貝爾函數論。如果

表示 n 維向量空間，

是秩為 2n 的格，則商羣

是復環面 (complex torus)。X 上的亞純函數就是

上關於週期格

不變的亞純函數。如果 X 上的亞純函數域 K 的超越次數是 n，那麼 X 可以有一個代數羣結構。由 X 的緊性，這個羣結構是唯一的，且這個結構的有理函數城與 K 重合。這樣構成的代數羣是一個阿貝爾簇。而且域

上的每個阿貝爾簇都可以用這種方法得到。確定

基的矩陣可以簡化為形式

其中 E 是單位陣，Z是 n x n 階矩陣。

復環面

是阿貝爾簇當且僅當 Z 對稱且有正定虛部[即整曼條件(Riemamn conditions)]。這裏應當指出的是，作為實李羣，所有的簇 X 都同構，但是對 X 的解析或代數結構來説，這並不成立。當

形變時，它們強烈的變化。對週期矩陣 Z 的考察表明，它的變化具有解析特徵，最後得出具有給定維數 n 的所有阿貝爾簇的參模族的構造。這個參模放的維數是n(n + 1)/2。

任意域 k 上的阿貝爾簇理論應歸功於韋伊(A.Weil)，它在代數幾何學本身及數學其他領域，特別是數論和自守函數論中，有許多應用。對每個完全代數簇，都可以函子似的關聯個阿貝爾簇（阿爾巴內塞族、皮卡簇、中間雅可比簇）。這些構造都是研究代數簇幾何結構的有力工具。

例如，可以得到呂羅特問題的一個解。另一個應用就是有限域上代數曲線的黎曼假設的證明——這個問題正是阿貝爾簇的抽象理論的發端。它也是

進(l-adic) 上同調的來源之一。這種上同調最簡單的例子就是阿貝爾簇的泰特模。它是

階點的羣

當

時的射影極限，而這種羣結構的確定正是韋伊理論的主要成果之一。事實上，若 m 與域 k 的特徵 p 互素且k 是代數閉城，則羣

同構於

當m = p時，情況要複雜得多。結果就是導出了諸如有限羣概形、形式羣 (formal group) 和 p 可除羣(p-divisible group) 等概念。

對阿貝爾簇的自同態，特別是弗羅貝尼烏斯自同態在泰特模上自同態作用的研究，使得有可能證明（對有限域上的代數曲線的）黎曼假設(Riemann hypothesis)，它也是阿貝爾簇的復乘法理論中的主要工具。另一些與泰特模有關的問題包括在這個模上基域閉包的伽羅瓦羣的作用的研究。由此導致泰特猜想以及泰特本田理論，它應用泰特模語言描述有限域上的阿貝爾簇。

對局部域包括 p 進域上阿貝爾簇的研究發展很快。與阿貝爾簇表示成商空間

在這種域上相類似的表示，通常稱為單值化，由芒福德(D.Mumford) 和雷諾(M.Raynaud)構造出來。與複數情形不同的是，並非所有的阿貝爾簇都能被單值化，僅僅是可被模 p 約化為乘法羣的那些才能被單值化。整體（數或函數）域上的阿貝爾簇的理論在丟番圖幾何學中起重要作用。

其主要結果是莫德爾-韋伊定理(Morell-Weiltheorem)：定義在有理數的有限擴域上的阿貝爾簇的有理點所組成的羣是有限生成的。 ^[1]