類數公式

數域 K 有擴張

，

為 K的實素點個數，

為 K的復素點個數。 K戴德金zeta函數記為：

，則有下列不變量：

1、

為K的理想類羣的階

2、

K的素點

3、

為K的單位根個數

4、

為K在K/Q擴張的判別式

定理1（類數公式）數域 K 的戴德金zeta函數

絕對收斂，並對複平面

，且s =1時，只有一個極點的亞純函數，其留數為：

這是最普遍的“類數公式”。在特殊情況下，例如當K是分圓域的擴張，也有簡化的類數公式。

狄利克雷在1839年證明了第一類數公式，但它是關於二次型的類數而不是理想類的證明。 ^[1]  設d是一個基本單位的判別式，寫判別ð二次型的等價類數h為（D）。

是Kronecker符號，則χ是Dirichlet特徵。記χ的LDirichlet L序列為L(s, χ)，

對於d>0，讓t> 0，u>0 則滿足u是最小的解Pell方程

，如記:

（ε也是實2次域的基本單位或基本單位的平方）， 對於d<0，記w為判別式d的二次型的自同構個數，則：

然後狄利克雷證明出：

這是上述定理1一個特殊情況：只對一個二次域K戴德金zeta函數的結論：

留數為

狄利克雷也證明了，L序列可以寫成有限形式，從而類數也可以寫成有限形式。類數有限的形式為：