切點

在幾何學中，在給定點處的平面曲線的切線是在該點處“剛好接觸”曲線的直線。萊布尼茲將其定義為通過曲線上一對無限封閉的點的線 ^[1]  。更準確地説，如果直線通過曲線上的點

，則直線被稱為在曲線上的點

處的曲線

的切線，並且具有斜率

，其中

是

的導數。類似的定義適用於n維歐幾里德空間中的空間曲線。 ^[2] 

通過切線和曲線相交的點，稱為切點，切線與曲線“以相同的方向”，因此切點是曲線上的最佳直線近似點。

類似地，在給定點處的表面的切平面是在該點處“正好接觸”表面的平面。切線的概念是微分幾何中最基本的概念之一，並被廣泛推廣。

“切線”一詞來自拉丁語tangere，意為“觸摸”。

歐幾里德在元素的第三卷（公元前300年）中提到了圓圈的切線，在阿波羅尼奧斯（Apollonius）的工作中（公元前225年），他將切線定義為一條直線，使得其中沒有其他直線可能落在它和曲線之間。

阿基米德（公元前287年至公元前212年）通過考慮沿着曲線移動的點的路徑，發現了阿基米德螺旋線的切線。

在16世紀30年代，費馬公司開發了足夠的技術來計算分析中的切線和其他問題，並用它來計算拋物線的切線。他的技巧和

和

之間的差除以h是相似的。笛卡爾使用他的法線方法，基於圓的半徑總是與圓本身正交。

這些方法導致了17世紀差異演算的發展。許多人貢獻羅伯瓦爾（Roberval）發現的一種繪製切線的一般方法，通過考慮由移動點描述的曲線，其運動是幾個更簡單的運動的結果。René-Françoisde Sluse和約翰內斯·胡德發現了用於找到切線的代數算法，進一步的發展包括約翰·沃利斯和以撒巴羅的展示，產生了牛頓和戈特弗裏德·萊布尼茲的理論。

1828年的切線定義是“一條曲線接觸的線，但是當它產生時，它不會切割”。這個舊的定義可以防止拐點有任何切線。現代定義與萊布尼茲的定義相當，萊布尼茲將線條定義為曲線上一對無限接近的線。

通過考慮通過兩個點（A和B）的直線（割線）的順序，可以使切線“接觸”曲線更直觀的概念。當點B近似或趨向於A時，A的切線是極限。切線的存在和唯一性取決於某種類型的數學平滑度，稱為“可微性”。例如，如果兩個圓弧在尖鋭點（頂點）相遇，那麼在頂點處沒有唯一定義的切線，因為割線行進的限制取決於“點B”接近頂點的方向。

在多數點上，切線觸及曲線而不穿過曲線（儘管可能，當連續的時候，可以在距離切線的其他地方穿過曲線）。切線（此時）與曲線交叉的點稱為拐點。圓形，拋物線形，雙曲線和橢圓形沒有任何拐點，但是更復雜的曲線確實有像立方函數的圖形，它具有正好一個拐點，或正弦曲線，每個時間段有兩個拐點正弦。

相反，可能會發生曲線完全位於通過其上的點的直線的一側，但是該直線不是切線。例如，對於通過三角形的頂點而不與三角形相交的線的情況，由於上述原因，切線不存在。在凸幾何中，這樣的線稱為支撐線。

切線是割線的極限。 找到圖形切線的問題是導致17世紀微積分發展的原因之一。 在RenéDescartes的第二本幾何書中，説到了構建曲線切線的問題，“我敢説，這不僅是我所知道的幾何中最有用和最普遍的問題“。

假設曲線給出函數圖：

。 為了在點

處找到切線，考慮曲線上的另一個附近點

。 穿過

和

的割線的斜率等於差商

隨着點

接近

，這對應於使h越來越小，差商應該接近某個值

，這就是在點

的切線的斜率。 如果k是已知的，則可以以斜坡形式找到切線的方程：

為了使上述推理嚴格，必須解釋接近某一極限值

的差商的含義。 精確的數學公式是由柯西在19世紀給出的，是基於極限的概念。 假設該圖在

處沒有斷裂或尖鋭的邊緣，並且在

附近既不是垂直的。 那麼存在k的唯一值，使得隨着

接近0，差商變得越來越接近

，並且如果

足夠小，它們之間的距離與

的大小相比可以忽略不計。 這導致將圖的切線的斜率定義為函數

的差商的極限。 這個限制是

處的函數f的導數，表示為

。 使用導數，切線的方程可以表示如下：

微積分提供計算由公式給出的函數的導數的規則，例如功率函數，三角函數，指數函數，對數及其各種組合。 因此，所有這些函數的圖形的切線方程以及許多其他方程式可以通過微積分方法找到。