帕斯卡定理

如果一個六邊形內接於一條二次曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)，那麼它的三對對邊的交點在同一條直線上。 ^[1] 

由於六邊形的存在多種情況，帕斯卡定理的圖形也存在多種，它們雖然看起來截然不同，但均為帕斯卡定理，證明它們的方法也是相同的

可以利用射影變換，將圓錐曲線的命題轉化為圓的命題

只需要證明圓的內接六邊形ABCDEF三雙對邊的交點共線即可

帕斯卡定理的證法有許多種，在此只列舉六種

面積法：

設AB交DE於G，BC交EF於I，CD交AF於H

連接GI，設AF交GI於H'(如圖1中圖1)，CD交GI於H''(如圖1中圖2)

要證G、I、H共線，只需證AF、CD、GI交於一點

只需證：

，即證：

共邊定理+共角定理可得：

命題得證

設AF、BC交於J，DE、AF交於K，DE、CB交於L

對△KLJ和截線AB、CD、EF分別應用梅涅勞斯定理得：

三式相乘得：

......(1)

圓冪定理得：

……(2)

……(3)

……(4)

將(2),(3),(4)式代入(1)得：

梅涅勞斯逆定理得：G、I、H共線，命題得證

作△CHF外接圓交EF於K、BC於J

∵∠DEF=∠DCF=∠HKF，∴GE∥HK

同理可得：HJ∥BG，BE∥KJ

∴△GEB與△HKJ位似

又位似三角形對應點的所在的直線交於一點

即GH、EK、BJ交於一點，此點為I

∴G、H、I共線，命題得證

利用角元塞瓦定理逆定理證明PR、EF、BC共點（下面推導省去∠符號）

我們有

（第二步為對△ADR用角元塞瓦定理）

因此PR、EF、BC共點，即P、Q、R共線。

射影證法

圓錐曲線（以橢圓為例）上六點A、B、C、D、E、F，AB∩DF=M，AC∩DE=N，CF∩BE=P，求證M、P、N共線

在異於題設所在平面的空間上任取一點作為射影中心，將AB、DE射影為一對平行直線；將AC、DF射影為一對平行直線，再將中心射影后圖形中的橢圓仿射為圓O（如圖2）

則由平行四邊形AMDN及同弧圓周角性質知∠BAE=∠FDC，則CF=BE，根據同圓內等弦長對應等圓周角推導知BF//CE，則觀察圖2中兩個綠色三角形笛沙格定理（逆）知M、P、N，則帕斯卡定理得證。

圓錐曲線（以圓為例）上六點G、B、C、D、E、F，DE∩CF=H，BC∩DG=I，GF∩BE=J，求證H、I、J共線

如圖3作輔助線，記三角形EHJ外接圓與本圓於K,易證HJ//DL//BN。

令HJ∩BC=I'，則由平行推知∠CI'H=∠CBN=∠CKN,即CHI'K共圓。同理令HJ∩DG=I''，則有KGI''J共圓。則∠HCI'+∠I''GL=∠HEJ=∠HEI'+∠I''EJ

故I=I'=I''，，則帕斯卡定理得證。