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圓冪定理
鎖定
- 中文名
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圓冪定理
- 外文名
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power of a point theorem
- 表達式
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PA·PB=PC·PD
- 適用領域
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數學-平面幾何-圓
- 應用學科
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數學-平面幾何-圓
- 包 括
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割線定理,切割線定理,相交弦定理
圓冪定理發展簡史
圓冪定理是一個總結性的定理,是對
相交弦定理、
切割線定理及
割線定理(切割線定理推論)以及它們推論的統一與歸納。
[1]
根據兩條與圓有相交關係的線的位置不同,有以下定理:
相交弦定理:圓內的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等。
割線定理:從圓外一點P引兩條割線與圓分別交於A、B;C、D,則有
從上述定理可以看出,兩條線的位置從內到外,都有着相似的結論。經過總結和歸納,便得出了圓冪定理。
圓冪定理點對圓的冪
圓冪定理定義
圓冪定理性質
點P對圓O的冪的值,和點P與圓O的位置關係有下述關係:
點P在圓O內→P對圓O的冪為負數
點P在圓O外→P對圓O的冪為正數
點P在圓O上→P對圓O的冪為0
注意:以上關係除正向應用通過點和圓的位置
關係判斷點對的圓的冪的符號,還可以逆向應用,通過點對圓的冪的符號
反推點和圓的位置關係。
[1]
在某些書中,點P對圓O的冪表示為
,但通常來説,冪是有
正負零之分的。
圓冪定理定理證明
圖1中圖Ⅰ:相交弦定理。如圖1中圖Ⅰ,AB、CD為
的兩條任意弦。相交於點P,連接AD、BC,由於∠B與∠D同為弧AC所對的
圓周角,因此由
圓周角定理知:
,同理
,所以
。所以有:
,即:
。
圖1中圖Ⅱ:割線定理。如圖1中圖Ⅱ,連接AD、BC。可知
,又因為∠P為
公共角,所以有
圖1中圖Ⅲ:
切割線定理。如圖1中圖Ⅲ,連接AC、AD。∠PAC為
切線PA與弦AC組成的
弦切角,因此有
,又因為∠P為公共角,所以有
,易證
圖1圓冪定理的所有情況
- 參考資料
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1.
周春荔.圓冪定理及其應用[J],中小學數學,2003,24
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2.
李樹臣.圓冪定理的教學設想[J],中學數學教學參考,1998,12:(10-11)