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切割線定理
鎖定
- 中文名
- 切割線定理
- 外文名
- theorem of tangent and secant of a circle
- 所屬學科
- 數學(幾何學)
- 相關概念
- 切線,割線,弦切角定理等
切割線定理基本介紹
切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。與圓相交的直線是圓的割線。切割線定理揭示了從圓外一點引圓的切線和割線時,切線與割線之間的關係。這是一個重要的定理,在解題中經常用到。
推論: 從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。
切割線定理切割線定理的證明
設ABP是⊙O的一條割線,PT是⊙O的一條切線,切點為T,則PT²=PA·PB。
證明:連接AT, BT。
∵ ∠PTB=∠PAT(弦切角定理);∠APT=∠TPB(公共角);
∴ △PBT∽△PTA(兩角對應相等,兩三角形相似);
∴PB:PT=PT:AP;
即:PT²=PB·PA。
切割線定理例題解析
【例1】求證:兩個相交圓的公共弦的延長線上任何一點到兩圓的切線等長(如圖2)。
已知:P為兩圓公共弦BA的延長線上任意一點,
和
分別為以點P到
和
所引的切線,
為切點,求證:
。
證明:PAB和
分別為從P點到
所引的割線和切線,根據圓冪定理,可知:
同理可證
所以
。
【例2】如圖3,AB為
的直徑,AC為
的切線,A為切點,割線CDF交AB於E。若
。求
的直徑AB長。
解:由切割線定理得:
,設
,則
所以:
在
中,由勾股定理得:
,
由相交弦定理得:
,
則
所以
。