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輔助線

(幫助解答疑難幾何圖形線段)

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輔助線是指在原圖基礎上所作的具有極大價值的直線或者線段,多用於幾何學中解答疑難幾何圖形問題。
中文名
輔助線
外文名
auxiliary line
拼    音
fǔ zhù xiàn
學    科
幾何學
隸    屬
數學
應    用
幾何圖形問題

輔助線添線原則

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1.把分散的幾何元素轉化為相對集中的幾何元素(如把分散的元素集中在一個三角形或兩個全等的三角形中,以使定理能夠針對應用)。
2.把不規則的圖形轉化為規則的圖形,把複雜圖形轉化為簡單的基本圖形。 [1] 
3.平面幾何中,輔助線用虛線表示。立體幾何中,看得見的用實線表示,看不見的用虛線表示。

輔助線基本圖形輔助線畫法

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輔助線三角形問題

方法1:有關三角形中線的題目,常將中線加倍。含有中點的題目,常常利用三角形的中位線,通過這種方法,把要證的結論恰當的轉移,很容易地解決了問題。
方法2:含有平分線的題目,常以角平分線為對稱軸,利用角平分線的性質和題中的條件,構造出全等三角形,從而利用全等三角形的知識解決問題。
方法3:結論是兩線段相等的題目常畫輔助線構成全等三角形,或利用關於平分線段的一些定理。
方法4:結論是一條線段與另一條線段之和等於第三條線段這類題目,常採用截長法或補短法,所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分,證其中的一部分等於第一條線段,而另一部分等於第二條線段。 [2] 

輔助線平行四邊形問題

平行四邊形(包括矩形正方形菱形)的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質,所以在添輔助線方法上也有共同之處,目的都是造就線段的平行垂直,構成三角形的全等相似,把平行四邊形問題轉化成常見的三角形、正方形等問題處理,其常用方法有下列幾種。
方法1:連對角線或平移對角線
方法2:過頂點作對邊的垂線構造直角三角形
方法3:連接對角線交點與一邊中點,或過對角線交點作一邊的平行線,構造線段平行或中位線
方法4:連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段,構造三角形相似或等積三角形。
方法5:過頂點對角線垂線,構成線段平行或三角形全等。 [2] 

輔助線梯形問題

梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形三角形知識的綜合,通過添加適當的輔助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋樑,梯形中常用到的輔助線有在梯形內部平移一腰、梯形外平移一腰、梯形內平移兩腰、延長兩腰、過梯形上底的兩端點向下底作高、平移對角線、連接梯形一頂點及一腰的中點、過一腰的中點作另一腰的平行線、作中位線等。 [2] 

輔助線圓問題

在平面幾何中,解決與有關的問題時,常常需要添加適當的輔助線,架起題設和結論間的橋樑,從而使問題化難為易,順其自然地得到解決。
方法1:見弦作弦心距。有關弦的問題,常作其弦心距(有時還須作出相應的半徑),通過垂徑平分定理,來溝通題設與結論間的聯繫。
方法2:見直徑圓周角。在題目中若已知圓的直徑,一般是作直徑所對的圓周角,利用"直徑所對的圓周角是直角"這一特徵來證明問題。
方法3:見切線半徑。命題的條件中含有圓的切線,往往是連結過切點的半徑,利用"切線與半徑垂直"這一性質來證明問題。
方法4:兩圓相切作公切線。對兩圓相切的問題,一般是經過切點作兩圓的公切線或作它們的連心線,通過公切線可以找到與圓有關的角的關係。
方法5:兩圓相交作公共弦。對兩圓相交的問題,通常是作出公共弦,通過公共弦既可把兩圓的弦聯繫起來,又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯繫起來。 [2] 

輔助線舉例

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例1:如圖1所示,等腰梯形ADBC 中AD∥BC,底角∠ABC=45°,對角線AC、BD交於點O,且∠BOC=120°,求:AD/BC的值。
圖1 圖1
解:考慮過上底頂點D(或A)作對角線的平行線,把梯形問題轉化為平行四邊形及頂角為120°的等腰三角形問題,而解等腰三角形時,常添的輔助線是作底上的高,這樣則不難求AD/BC的比值。添輔助線後的圖形如圖2。
圖2 圖2
設DE=a,BE=EF,∠BDE=60°,∠BED=90°,可得BE=EF=
。再由DE⊥BC,∠BCD=45°,DE=CE=a,可得CF=AD=
,BC=BE+EC=
。從而得AD/BC=

輔助線作用

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1.揭示圖形中隱含性質的作用:當條件結論間的邏輯關係不明朗時,通過添加適當的輔助線,將條件中隱含的有關圖形的性質充分揭示出來,以便取得過渡性的推論,達到推導出結論的目的。
⒉聚攏集中作用:通過添置適當的輔助線,將圖形中分散、遠離的元素,通過變換和轉化,使它們相對集中,聚攏到有關圖形上來,使題設條件與結論建立邏輯關係,從而推導出要求的結論。
⒊化繁為簡作用:對一類幾何命題,其題設條件與結論之間在已知條件所給的圖形中,其邏輯關係不明朗,通過添置適當輔助線,把複雜圖形分解成簡單圖形,從而達到化繁為簡,化難為易的目的。
⒋發揮特殊點和線的作用:在題設條件所給的圖形中,對尚未直接顯現出來的各元素,通過添置適當輔助線,將那些特殊、特殊、特殊圖形性質恰當揭示出來,並充分發揮這些特殊點、線的作用,達到化難為易,導出結論的目的。
⒌構造圖形的作用:對一類幾何證明,常須用到某種圖形,這種圖形在題設條件所給的圖形中卻沒有體現,必須添置這些圖形,才能導出結論。 [3] 

輔助線教學應用

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在幾何圖形輔助線的數學教學中可以採用“探究法”。“探究法”的精髓在於以學生為主角,使他們由被動地接受知識轉變為知識的探索者。通過親自動手,積極思考,熱烈討論,探索知識,學生能更加深入理解知識的內涵,並培養觀察力思維能力、動手能力、歸納能力、語言表達能力和創造能力等。“探究式教學法 ”是指在老師的指導下 ,學生通過具體的操作,親自嘗試後,經過積極思考和討論,找到知識的規律,總結出結論,學會新知,並發展思維、培養能力的綜合教學方法。通過讓學生對幾何圖形基本輔助線畫法進行了解,可以引導學生對解決幾何圖形問題進行積極思考。從中拓展學生思維、提高學生獨立思考的能力。 [3] 
參考資料
  • 1.    王玉華.如何添輔助線解幾何題[J].科技信息,2009(04):395-396.
  • 2.    李淑華.淺談輔助線在幾何證題中的作用[J].承德民族師專學報,2009,29(02):11-12.
  • 3.    德力根倉.淺談輔助線在幾何證題中的應用[J].赤峯學院學報(自然科學版),2014,30(12):264-266.