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輔助線
(幫助解答疑難幾何圖形線段)
鎖定
- 中文名
- 輔助線
- 外文名
- auxiliary line
- 拼 音
- fǔ zhù xiàn
- 學 科
- 幾何學
- 隸 屬
- 數學
- 應 用
- 幾何圖形問題
輔助線添線原則
1.把分散的幾何元素轉化為相對集中的幾何元素(如把分散的元素集中在一個三角形或兩個全等的三角形中,以使定理能夠針對應用)。
3.平面幾何中,輔助線用虛線表示。立體幾何中,看得見的用實線表示,看不見的用虛線表示。
輔助線基本圖形輔助線畫法
輔助線三角形問題
方法3:結論是兩線段相等的題目常畫輔助線構成全等三角形,或利用關於平分線段的一些定理。
輔助線平行四邊形問題
平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質,所以在添輔助線方法上也有共同之處,目的都是造就線段的平行、垂直,構成三角形的全等、相似,把平行四邊形問題轉化成常見的三角形、正方形等問題處理,其常用方法有下列幾種。
輔助線梯形問題
梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合,通過添加適當的輔助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋樑,梯形中常用到的輔助線有在梯形內部平移一腰、梯形外平移一腰、梯形內平移兩腰、延長兩腰、過梯形上底的兩端點向下底作高、平移對角線、連接梯形一頂點及一腰的中點、過一腰的中點作另一腰的平行線、作中位線等。
[2]
輔助線圓問題
在平面幾何中,解決與圓有關的問題時,常常需要添加適當的輔助線,架起題設和結論間的橋樑,從而使問題化難為易,順其自然地得到解決。
方法1:見弦作弦心距。有關弦的問題,常作其弦心距(有時還須作出相應的半徑),通過垂徑平分定理,來溝通題設與結論間的聯繫。
方法4:兩圓相切作公切線。對兩圓相切的問題,一般是經過切點作兩圓的公切線或作它們的連心線,通過公切線可以找到與圓有關的角的關係。
輔助線舉例
例1:如圖1所示,等腰梯形ADBC 中AD∥BC,底角∠ABC=45°,對角線AC、BD交於點O,且∠BOC=120°,求:AD/BC的值。
解:考慮過上底頂點D(或A)作對角線的平行線,把梯形問題轉化為平行四邊形及頂角為120°的等腰三角形問題,而解等腰三角形時,常添的輔助線是作底上的高,這樣則不難求AD/BC的比值。添輔助線後的圖形如圖2。
設DE=a,BE=EF,∠BDE=60°,∠BED=90°,可得BE=EF=
。再由DE⊥BC,∠BCD=45°,DE=CE=a,可得CF=AD=
,BC=BE+EC=
。從而得AD/BC=
。
輔助線作用
⒉聚攏集中作用:通過添置適當的輔助線,將圖形中分散、遠離的元素,通過變換和轉化,使它們相對集中,聚攏到有關圖形上來,使題設條件與結論建立邏輯關係,從而推導出要求的結論。
⒊化繁為簡作用:對一類幾何命題,其題設條件與結論之間在已知條件所給的圖形中,其邏輯關係不明朗,通過添置適當輔助線,把複雜圖形分解成簡單圖形,從而達到化繁為簡,化難為易的目的。
⒋發揮特殊點和線的作用:在題設條件所給的圖形中,對尚未直接顯現出來的各元素,通過添置適當輔助線,將那些特殊點、特殊線、特殊圖形性質恰當揭示出來,並充分發揮這些特殊點、線的作用,達到化難為易,導出結論的目的。