全等三角形

經過翻轉、平移、旋轉後，能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形，而該兩個三角形的三條邊及三個角都對應相等。

1．全等三角形的對應角相等。

2．全等三角形的對應邊相等。

3. 能夠完全重合的頂點叫對應頂點。

全等三角形和例題(7張)

4．全等三角形的對應邊上的高對應相等。

5．全等三角形的對應角的角平分線相等。

6．全等三角形的對應邊上的中線相等。

7．全等三角形面積和周長相等。

8．全等三角形的對應角的三角函數值相等。 ^[2] 

在第一行寫要進行判定全等的兩個三角形；

第二行畫大括號，分別寫判定的三個條件，並註明理由；

在第三行寫出結論，並説明理由。

1.公共邊；2.已知；3.已證；4.公共角；5.由定義推到的角，如“對頂角相等”。

最後一行，寫兩個三角形全等並註明理由.（如圖1）（若為直角三角形，在第二行須先寫明兩個直角相等併為90度，再寫兩個斜邊、直角邊分別相等）。

（例：Rt△xxx與Rt△xxx）

（提示：線段的垂直平分線上的一點到線段的兩個端點的距離相等）

三個角對應相等的兩個三角形不一定全等，兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形也不一定全等。

下列兩種方法不能驗證為全等三角形：

AAA（角、角、角），指兩個三角形的任何三個角都對應地相同。但這不能判定全等三角形，但AAA能判定相似三角形。在幾何學上，當兩條線疊在一起時，便會形一個點和一個角。而且，若該線無限地延長，或無限地放大，該角度都不會改變。同理，在圖2中，該兩個三角形是相似三角形，這兩個三角形的關係是放大縮小，因此角度不會改變。

這樣，便能得知若邊無限地根據比例加長，角度都保持不變。因此，AAA並不能判定全等三角形。

但在球面幾何上，AAA可以判定全等三角形（運用三角形與其極對稱三角形的邊角關係證明），而AAS不能判定全等三角形（球面三角形內角和大於180°）。

即三邊對應相等的兩個三角形全等. ^[3] 

舉例：如圖3，AC=BD，AD=BC，求證∠A=∠B.

證明：在△ACD與△BDC中{AC=BD，AD=BC，CD=DC.∴△ACD≌△BDC.（SSS）

∴∠A=∠B.（全等三角形的對應角相等）

即三角形的其中兩條邊對應相等，且兩條邊的夾角也對應相等的兩個三角形全等. ^[2] 

舉例：如圖4，AB平分∠CAD，AC=AD，求證∠C=∠D.

證明：∵AB平分∠CAD.

∴∠CAB=∠BAD.

在△ACB與△ADB中{AC=AD，∠CAB=∠BAD，AB=AB.

∴△ACB≌△ADB.（SAS）

∴∠C=∠D.（全等三角形的對應角相等）

即三角形的其中兩個角對應相等，且兩個角夾邊也對應相等的兩個三角形全等. ^[3] 

舉例：如圖5，AB=AC，∠B=∠C，求證△ABE≌△ACD.

證明：在△ABE與△ACD中{∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C.

∴△ABE≌△ACD.（ASA）

即三角形的其中兩個角對應相等，且對應相等的角所對應的邊也對應相等的兩個三角形全等. ^[3] 

舉例：如圖6，AB=DE，∠A=∠E，求證∠B=∠D.

證明：在△ABC與△EDC中{∠A=∠E，∠ACB=∠DCE，AB=DE.

∴△ABC≌△EDC.（AAS）

∴∠B=∠D.（全等三角形的對應角相等）

即在直角三角形中一條斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等. ^[3] 

舉例：如圖7，Rt△ADC與Rt△BCD，AC=BD，求證AD=BC.

證明：在Rt△ADC與Rt△BCD中{AC=BD，CD=DC.

∴Rt△ADC≌Rt△BCD.（HL）

∴AD=BC.（全等三角形的對應邊相等）

用途

因為多邊形可由多個三角形組成，所以利用此方法，亦可驗證其它全等的多邊形。

利用性質和判定，學會準確地找出兩個全等三角形中的對應邊與對應角是關要驗證全等三角形，不需驗證所有邊及所有角也對應地相同。以下判定，是由三個對應的部分組成，即全等三角形可透過以下定義來判定：

SSS（Side-Side-Side）（邊、邊、邊）：各三角形的三條邊的長度都對應相等的話，該兩個三角形就是全等三角形。

SAS（Side-Angle-Side）（邊、角、邊）：各三角形的其中兩條邊的長度都對應相等，且這兩條邊的夾角（即這兩條邊組成的角）都對應相等的話，該兩個三角形就是全等三角形。

ASA（Angle-Side-Angle）（角、邊、角）：各三角形的其中兩個角都對應相等，且這兩個角的夾邊（即公共邊，）都對應相等的話，該兩個三角形就是全等三角形。

AAS（Angle-Angle-Side）（角、角、邊）：各三角形的其中兩個角都對應相等，且其中一個角的對邊（三角形內除組成這個角的兩邊以外的那條邊）或鄰邊（即組成這個角的一條邊）對應相等的話，該兩個三角形就是全等三角形。

HL定理（hypotenuse -leg） （斜邊、直角邊）：直角三角形中一條斜邊和一條直角邊都對應相等，該兩個三角形就是全等三角形。

1.性質中三角形全等是條件，結論是對應角、對應邊相等。在寫兩個三角形全等時，一定把對應的頂點，角、邊的順序寫一致，為找對應邊，角提供方便。

2.當圖中出現兩個以上等邊三角形時，應首先考慮用SAS找全等三角形。

3.用在實際中，一般我們用全等三角形測相等的距離。以及相等的角，可以用於工業和軍事。

4.三角形具有一定的穩定性，所以我們用這個原理來做腳手架及其他支撐物體。

一般來説線段和角相等需要證明全等。

因此我們可以來採取逆向思維的方式。

來想要證全等，則需要什麼條件

要證某某邊等於某某邊，那麼首先要證明含有那兩個邊的三角形全等。

然後把所得的等式運用（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）證明三角形全等。

有時還需要畫輔助線幫助解題。常用的輔助線有：中線倍長，截長補短等。

分析完畢以後要注意書寫格式，在全等三角形中，如果格式不寫好那麼就容易出現看漏的現象。