圓錐曲線

2000多年前，古希臘數學家最先開始研究圓錐曲線 ^[1-3]  ，並獲得了大量的成果。古希臘數學家阿波羅尼斯採用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。用垂直於錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；用平行於圓錐的軸的平面截取，可得到雙曲線的一支（把圓錐面換成相應的二次錐面時,則可得到雙曲線）。

阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線”，把雙曲線叫做“超曲線”，把拋物線叫做“齊曲線”。事實上，阿波羅尼在其著作中使用純幾何方法已經取得了今天高中數學中關於圓錐曲線的全部性質和結果。

對於圓錐曲線的最早發現，眾説紛紜。有人説，古希臘數學家在求解“立方倍積”問題時，發現了圓錐曲線：設x、y為a和2a的比例中項，即

，則

，

，

，從而求得

。又有人説，古希臘數學家在研究平面與圓錐面相截時發現了與“立方倍積”問題中一致的結果。還有認為，古代天文學家在製作日晷時發現了圓錐曲線。日晷是一個傾斜放置的圓盤，中央垂直於圓盤面立一杆。當太陽光照在日晷上，杆影的移動可以計時。而在不同緯度的地方，杆頂尖繪成不同的圓錐曲線。然而，日晷的發明在古代就已失傳。

早期對圓錐曲線進行系統研究成就最突出的可以説是古希臘數學家阿波羅尼（Apollonius，前262~前190）。他與歐幾里得是同時代人，其鉅著《圓錐曲線》與歐幾里得的《幾何原本》同被譽為古代希臘幾何的登峯造極之作。

在《圓錐曲線》中，阿波羅尼總結了前人（柏拉圖學派的梅內赫莫斯為解決倍立方體問題而發現了圓錐曲線）的工作，尤其是歐幾里得的工作，並對前人的成果進行去粗存精、歸納提煉並使之系統化的工作，在此基礎上，又提出許多自己的創見。全書8篇，共487個命題，將圓錐曲線的性質網羅殆盡，以致後代學者幾乎沒有插足的餘地達千餘年。

我們都知道，用一個平面去截一個雙圓錐面，會得到圓、橢圓、拋物線、雙曲線以及它們的退化形式：兩相交直線，一條直線和一個點。

在此，我們僅介紹阿波羅尼關於圓錐曲線的定義。給定圓BC及其所在平面外一點A，則過A且沿圓周移動的一條直線生成一個雙錐面。A叫做圓錐的頂點，圓叫圓錐的底，A到圓心的直線叫圓錐的軸，軸未必垂直於底。

設錐的一個截面與底交於直線TF，取底圓的垂直於TF的一條直徑BC，直線BC和TF交於G，於是含圓錐軸AS的△ABC叫軸三角形。對橢圓和雙曲線，軸三角形的兩邊AB、AC與截面分別交於E、D（雙曲線的場合中D在AC的反向延長線上）。對拋物線，軸三角形的一邊AB與截面交於E，另一邊AC與截面平行，因此無交點。

在圓錐曲線上取一點L，過L作LM∥TF，交EG於M。在軸三角形所在平面上作AK∥EG，交直線BC於K。再作EH⊥EG。對於橢圓、雙曲線，取H滿足

，而拋物線，則滿足

。連接DH，過M作

，直線DH和直線MN交於X。又過X作XO⊥直線EH於O，那麼對於橢圓、雙曲線有

，對於拋物線有

，這是可以證明的兩個結論。

在這兩個結論中，把ML稱為圓錐曲線的一個縱標線，那麼其結論表明，以縱標線為邊長的正方形面積等於以EM為一邊作一個矩形的面積。對於橢圓來講，EOEH，矩形EOXM超出矩形EHNM；而拋物線，EO=EH，矩形EOXM恰好填滿矩形EHNM。故而，橢圓、雙曲線、拋物線的原名分別叫“虧曲線”、“超曲線”和“齊曲線”。這就是阿波羅尼引入的圓錐曲線的定義。

阿波羅尼所給出的兩個結論，也很容易用現代數學符號來表示。設ML=y，EM=x，ED=a，EH=p（對於給定的圖形，a和p是定值），可以證明橢圓滿足

，雙曲線滿足

，而拋物線滿足

。

注意：若截面與AC平行，可認為截面與AC交於無窮遠點，此時ED=a=∞，因此p/a=0，即拋物線可以看成橢圓或雙曲線的極限形式。

在阿波羅尼的《圓錐曲線》問世後的13個世紀裏，整個數學界對圓錐曲線的研究一直沒有什麼新進展。11世紀，阿拉伯數學家曾利用圓錐曲線來解三次代數方程，12世紀起，圓錐曲線經阿拉伯傳入歐洲，但當時對圓錐曲線的研究仍然沒有突破。直到16世紀，有兩件事促使了人們對圓錐曲線作進一步研究。一是德國天文學家開普勒（Kepler,1571~1630）繼承了哥白尼的日心説，揭示出行星按橢圓軌道環繞太陽運行的事實；二是意大利物理學家伽利略（Galileo,1564~1642）得出物體斜拋運動的軌道是拋物線。

人們發現圓錐曲線不僅是依附在圓錐面上的靜態曲線，而且是自然界物體運動的普遍形式。於是，對圓錐曲線的處理方法開始有了一些小變動。譬如，1579年蒙蒂（Guidobaldo del Monte,1545~1607）橢圓定義為：到兩個焦點距離之和為定長的動點的軌跡。從而改變了過去對圓錐曲線的定義。不過，這對圓錐曲線性質的研究推進並不大，也沒有提出更多新的定理或新的證明方法。

17世紀初，在當時關於一個數學對象能從一個形狀連續地變到另一形狀的新思想的影響下，開普勒對圓錐曲線的性質作了新的闡述。他發現了圓錐曲線的焦點和離心率，並指出拋物線還有一個在無窮遠處的焦點，直線是經過無窮遠點的圓。從而他第一個掌握了這樣的事實：橢圓、拋物線、雙曲線、圓以及由兩條直線組成的退化圓錐曲線，都可以從其中一個連續地變為另一個，只須考慮焦點的各種移動方式，這為圓錐曲線現代的統一定義提供了一個合乎邏輯的直觀基礎。

隨着射影幾何的創始，原本為畫家提供幫助的投射、截影的方法，可能由於它與錐面有着天然的聯繫，也被用於圓錐曲線的研究。在這方面法國的三位數學家笛沙格（Desargue1591－1661）、帕斯卡（Pascal，1623－1662）和拉伊爾（Phailippe de La Hire，1640～1718）得出了一些關於圓錐曲線的特殊的定理，可謂別開生面。而當法國另外兩位數學家笛卡兒和費馬創立了解析幾何，人們對圓錐曲線的認識進入了一個新階段，對圓錐曲線的研究方法既不同於阿波羅尼，又不同於投射和截影法，而是朝着解析法的方向發展，即通過建立座標系，得到圓錐曲線的方程，進而利用方程來研究圓錐曲線，以期擺脱幾何直觀而達到抽象化的目標，也可求得對圓錐曲線研究高度的概括和統一。

到18世紀，人們廣泛地探討了解析幾何，除直角座標系之外又建立極座標系，並能把這兩種座標系相互轉換。在這種情況下表示圓錐曲線的二次方程也被化為幾種標準形式，或者引進曲線的參數方程。1745年歐拉發表了《分析引論》，這是解析幾何發展史上的一部重要著作，也是圓錐曲線研究的經典之作。在這部著作中，歐拉給出了現代形式下圓錐曲線的系統闡述，從一般二次方程出發，圓錐曲線的各種情形，經過適當的座標變換，總可以化以下標準形式之一：繼歐拉之後，三維解析幾何也蓬勃地發展起來，由圓錐曲線導出了許多重要的曲面，諸如圓柱面、橢球面、單葉和雙葉雙曲面以及各種拋物面等。

總而言之，圓錐曲線無論在數學以及其他科學技術領域，還是在我們的實際生活中都佔有重要的地位，人們對它的研究也不斷深化，其研究成果又廣泛地得到應用。這正好反映了人們認識事物的目的和規律。

在此，要提到的是我國數學教師胡新平在2016年給出的新成果，千百年來，平面解析幾何的主要理論一直再無大的進展，即使焦點—準線系統統一性從公元300多年Pappus首次發現至今已1700年了，其存在的明顯不足也一直沒能得到完善。事實上，人們也一直在尋求以幾何方式統一七類二次曲線，而胡新平老師給出了包含一、二次曲線全部八類曲線的幾何統一形式，該統一是焦點-準線下統一性的推廣，也是僅見到的完備的、幾何形式的統一，這使得平面解析幾何向前邁出了里程碑的一步。也是我國數學工作者在平面解析幾何學科發展史上留下的深深印記。

用一個平面去截一個二次錐面，得到的交線就稱為圓錐曲線（conic sections）。

通常提到的圓錐曲線包括橢圓，雙曲線和拋物線，但嚴格來講，它還包括一些退化情形。具體而言：

1) 當平面與二次錐面的母線平行，且不過圓錐頂點，結果為拋物線。

2) 當平面與二次錐面的母線平行，且過圓錐頂點，結果退化為一條直線。

3) 當平面只與二次錐面一側相交，且不過圓錐頂點，結果為橢圓。

4) 當平面只與二次錐面一側相交，且不過圓錐頂點，並與圓錐的對稱軸垂直，結果為圓。

5) 當平面與二次錐面兩側都相交，且不過圓錐頂點，結果為雙曲線（每一支為此二次錐面中的一個圓錐面與平面的交線）。

6) 當平面與二次錐面兩側都相交，且過圓錐頂點，結果為兩條相交直線。

7）當平面與二次錐面的兩側都不相交，且過圓錐頂點，結果為一點。

注意，上述曲線類中不含有二次曲線：兩平行直線。

在笛卡爾平面上，二元二次方程

的圖像稱為二次曲線。根據判別式的不同，包含了橢圓、雙曲線、拋物線以及各種退化情形。

（一）傳統的焦點-準線統一定義

給定一點P，一直線l以及一常數e>0，則到P的距離與l距離之比為e的點的軌跡是圓錐曲線。

根據e的範圍不同，曲線也各不相同。具體如下：

①e=1（即到P與到l距離相同），軌跡為拋物線；

②0<e<1，軌跡為橢圓；

③e>1，軌跡為雙曲線。

該定義只適用於圓錐曲線的主要情形（橢圓、雙曲線、拋物線），因而不能算是圓錐曲線的完整定義。但因其形式簡明美觀，並能引導出許多圓錐曲線中重要的幾何概念和性質，而受青睞並廣泛運用。

（二）一、二次曲線的統一定義

（《數學通報》2016.12期《一、二次曲線的軌跡統一及性質》一文中，我國中學數學教師胡新平將焦點--準線進行了推廣，從而可以給出以下完整的一、二次曲線的統一定義）

平面上有兩條互相垂直且相交於點E的直線l，m，點F是直線m上的一定點，|EF|=p，點N（稱為參數點）是直線l上一動點，軌跡動點M同時滿足下列兩條件：

（Ⅰ）動點N與動點M到定直線m的有向距離Nm與Mm有

Nm=（1+t）Mm，其中t為實常數；

（Ⅱ）動點M到定點F的距離|MF|與到動點N的距離|MN|有

|MF|=e|MN|，其中e為非負常數，

則在直角座標變換觀點下，動點M的軌跡是一、二次曲線

（約定e=1，|t| =1，p=0不同時成立）。

點M的軌跡具體情形如下：

（A）p≠0時：含六類一、二次曲線類。

e≠0時，

（1）當e=1，|t|=1時，軌跡是一條直線（EF的垂直平分線）；

（2）當e=1，|t|≠1時，軌跡是拋物線；

（3）當e<1，e|t|<1， 或e>1,e|t|>1時，軌跡是橢圓．其中|t|=1時是圓；

（4）當e≠1，e|t|=1 時，軌 跡 是 兩 條 平 行直線；

（5）當e<1,e|t|>1時，或e>1，e|t|<1時，軌跡是雙曲線；

e=0時，軌跡是一點

（B）p=0時：含三類一、二次曲線類。

（1）當e<1,e|t|>1時，或e>1，e|t|<1時，軌跡是兩條相交直線；

（2）當e=1，e|t|≠1時，或e≠1，e|t|=1時，軌跡是兩條重合直線；

（3）當e<1，e|t|<1，或e>1，e|t|>1時，軌跡是一點．

稱其中的定點F和定直線l為對應軌跡曲線的擬焦點和與擬焦點F相應的擬準線。

在射影平面內，兩個不同中心的射影線束，其對應直線的交點的軌跡是一條圓錐曲線。兩個不同底的射影點列，其對應點的連線的包絡是一條圓錐曲線。

所謂的射影線束是指，給定兩個中心O、O'，從O和O'各自引出4條直線a、b、c、d和a’、b'、c'、d'。如果這4條直線的交比對應相等，即(ab,cd)=(a'b',c'd')，那麼稱這兩個線束互為射影線束。射影線束的對應直線（上例中的a和a'，b和b'，c和c'，d和d'）的交點一定位於某圓錐曲線上。

同理，所謂的射影點列是指，給定兩條底o、o'，在o和o'上各自取4個點A、B、C、D和A'、B'、C'、D'。如果這4個點的交比對應相等，即(AB,CD)=(A'B',C'D')，那麼稱這兩個點列互為射影點列。射影點列的對應點（上例中的A和A'，B和B'，C和C'，D和D'）的連線一定與某圓錐曲線相切。

（以下以純幾何方式敍述主要的圓錐曲線通用的概念和性質，由於大部分性質是在焦點——準線觀點下定義的，對於更一般的退化情形，有些概念可能不適用。）

考慮焦點——準線觀點下的圓錐曲線定義。

定義中提到的定點，稱為圓錐曲線的焦點。

定義中提到的定直線稱為圓錐曲線的準線。

固定的常數（即圓錐曲線上一點到焦點與對應準線的距離比值）稱為圓錐曲線的離心率。

焦點到對應準線的距離稱為焦準距。

焦點到曲線上一點的線段稱為焦半徑。

類似圓，圓錐曲線上任意兩點之間的連線段稱為弦；過焦點的弦稱為焦點弦。平行於準線的焦點弦稱為通徑，物理學中又稱為正焦弦。

圓錐曲線是光滑的，因此有切線和法線的概念。

對於同一個橢圓或雙曲線，有兩個“焦點－準線”的組合可以得到它。因此，橢圓和雙曲線有兩個焦點和兩條準線。而拋物線只有一個焦點和一條準線。

圓錐曲線是軸對稱圖形，對稱軸為過焦點且與準線垂直的直線。在橢圓和雙曲線的情況，該直線通過兩個焦點，該直線稱為圓錐曲線的焦軸。對於橢圓和雙曲線，還關於焦點連線的垂直平分線對稱，因此橢圓和雙曲線有兩條對稱軸。

Pappus定理：圓錐曲線上一點的焦半徑長度等於該點到相應準線的距離乘以離心率。

Pascal定理：圓錐曲線的內接六邊形，若對邊兩兩不平行，則該六邊形對邊延長線的交點共線。（對於退化的情形也適用）

Brianchon定理：圓錐曲線的外切六邊形，其三條對角線共點。

由比利時數學家G.F.Dandelin 1822年得出的冰淇淋定理證明了圓錐曲線幾何定義與焦點-準線定義的等價性。

即有一以Q為頂點的圓錐（蛋筒），有一平面π'（你也可以説是餅乾）與其相截得到了圓錐曲線，作球與平面π'及圓錐相切，在曲線為橢圓或雙曲線時平面與球有兩個切點，拋物線只有一個（或者另一個在無窮遠處），則切點為焦點。又球與圓錐之交為圓，設以此圓所在平面π與π'之交為直線d（曲線為圓時d為無窮遠線），則d為準線。

圖只畫了橢圓，證明對拋物線雙曲線都適用，即證，任一個切點為焦點，d為準線。

證：假設P為曲線上一點，聯線PQ交圓O於E。設平面π′與π的交角為α，圓錐的母線（如PQ）與平面π的交角為β。設P到平面π 的垂足為H，H到直線d的垂足為R，則PR為P到d的垂線（三垂線定理），而∠PRH=α。因為PE、PF同為圓球之切線，得PE=PF。

如此則有：PR·sinα=PE·sinβ=PF·sinβ=PH

其中：PF/PR=sinα/sinβ為常數。

橢圓、雙曲線、拋物線各自的性質可參考相應詞條，現給出一般圓錐曲線的性質。

定理一：平面內五個點，其中任意三個不共線，則經過這五個點的圓錐曲線有且只有一條。

定理一‘：平面內五條直線，其中任意三條不共點，則與這五條直線都相切的圓錐曲線有且只有一條。

定理二（帕斯卡定理）：內接於非退化的圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線、圓）的六邊形的三組對邊交點共線。

定理二‘（布里昂雄定理）：外切於非退化的圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線、圓）的六邊形的三條對角線共點。

定理三（定理二的逆）：如果一六邊形的三組對邊交點共線，那麼這個六邊形內接於一圓錐曲線上。

定理三’（定理二‘的逆）：如果一六邊形的三條對角線共點，那麼這個六邊形外切於一圓錐曲線上。

定理四（定理二的極限情況）：圓錐曲線的內接三角形，每個頂點的切線與其對邊的交點共線。設△ABC內接於一圓錐曲線，在點A處的切線為a，在點B處的切線為b，在點C處的切線為c。a和BC交於P，b和AC交於Q，c和AB交於R，則PQR三點共線。

定理四’（定理二‘的極限情況）：圓錐曲線的外切三角形，每條邊的切點與其對頂點的連線共點。設△ABC外切於一圓錐曲線，BC邊上的切點為P，AC邊上的切點為Q，AB邊上的切點為R。連接AP、BQ、CR，則這三條直線交於同一點。

一、二次曲線的統一方程和性質可以參看《數學通報》2016，12期《一、二次曲線的軌跡統一及性質》一文。

平面直角座標系內的任意圓錐曲線可用如下方程表示：

其中，α∈[0,2π)，p>0，e≥0。

①e=1時，表示以F(g,h)為焦點，p為焦點到準線距離的拋物線。其中

與極軸夾角α（A為拋物線頂點）。

②01(g,h)為一個焦點，p為焦點到準線距離，e為離心率的橢圓。其中

與極軸夾角α。

③e>1時，表示以F₂(g,h)為一個焦點，p為焦點到準線距離，e為離心率的雙曲線。其中

與極軸夾角α。

④e=0時，表示點F(g,h)。

五點法求平面內圓錐曲線可以採用該統一方程。代入五組有序實數對，求出對應參數。

注：此方程不適用於圓錐曲線的其他退化形式，如圓等。

附：當e≠0時，F(g,h)對應準線方程：

在平面直角座標系中，方程

，表示的曲線稱為二次曲線，其中a、b、c不同時為零，它共包括如下九類曲線：

在表中已記

I₁,I2,I₃與J₂分別稱為二次曲線的不變量(即經過座標變換後，這些量是不變的)與條件不變量（或半不變量）。 ^[4] 

高考中經常遇到與兩條動直線的斜率和、積、商為定值有關的題目。現以焦點在x軸上的圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）來分別研究此類題目的一般做法以及背後隱含的道理。

涉及到斜率之和為定值的，一定與調和點列有關，即在該類型的題目下一定能找出一組調和點列（調和線束）。而在圓錐曲線中與調和點列相關的只有極點極線的內容，但由於高考大題不能使用極點極線的方法，所以只通過該方法講解原理，實際做題中需要用韋達定理或齊次化聯立。

（1）兩條動直線交點為圓錐曲線上的某個定點

即從圓錐曲線上某一點引出兩直線AC、AD，如果CD經過定點B，則k_AC+k_AD為定值。反之，如果已知k_AC+k_AD為定值，也能推出CD經過某定點B。

如圖，A為圓錐曲線上的定點，A'是A關於x軸的對稱點。在過A‘的切線上找一點B，過B作割線CD，連接AC、AD。這就有了兩動直線AC、AD，其交點為圓錐曲線上的定點A，且經過定點B。

過B作圓錐曲線的另一條切線BE，切點為E，則A'E是B的極線。

又連接AB，交圓錐曲線於另一點I，連接CI（圖中未畫出），得到圓錐曲線的內接四邊形AICD。設兩組對邊分別交於B、J（J可以是無窮遠點，即AD∥CI），對角線交於K，根據圓錐曲線內接四邊形的調和性質可知JK是B的極線，得到JEKA'共線。

與此同時，BK也是J的極線，於是根據極線的定義可知，J、K、E、A'構成調和點列⇒AD、AC、AE、AA'構成調和線束⇒N、M、Q、P構成調和點列⇒

⇒

⇒

。

因為B是定點，BE是切線，所以E也是定點，所以k_AE是定值，所以k_AC+k_AD為定值。

反過來，若已知k_AC+k_AD為定值，可以令

，得到定直線AE。再過E和A'分別作切線，切線相交於B，則由上述推導可知B是CD經過的定點。

這裏特別要注意兩種情況：

a.對於有心圓錐曲線（橢圓、雙曲線），當

時，易證E和A'關於中心對稱，因此在E和A'處的切線平行。此時認為這兩條切線相交於無窮遠點B，CD經過該無窮遠點意味着無論CD如何變化，其斜率為定值，且等於E、A'處切線的斜率（因為過同一個無窮遠點B的有窮直線均互相平行，而互相平行的直線斜率相等）。

而對於無心圓錐曲線（拋物線），當

時AE∥x軸，因此AE和x軸交於無窮遠點P。由射影幾何的理論可知，P是拋物線與無窮遠直線的切點，即AE交拋物線於P，過P的切線是無窮遠直線。再過A'作切線時，切線和無窮遠直線同樣交於無窮遠點B，所以依然有CD斜率為定值，且等於A'處切線的斜率。

b.當AE恰好是A處的切線時，此時AE與圓錐曲線只有一個交點A。不妨把這種情況視為A和E重合，於是過E(A)的切線和過A'的切線交於x軸上（也就是直線AA‘的極點）。

（2）兩條動直線交點為不在圓錐曲線上的某個定點

與上一種情況有別，這種情況下是過不在圓錐曲線上的定點A作一條直線交圓錐曲線於兩個點P、Q，B為定點（不在圓錐曲線上），求證k_BP+k_BQ為某定值。又或者問是否存在某個定點B使得k_BP+k_BQ為已知定值。

這裏取最簡單的情況來分析（事實上高考考得最多的也是這類題）。如圖，A是x軸上一定點（不在圓錐曲線上），過A作直線PQ交圓錐曲線於P、Q。B是A的極線上的一定點（注意這是前提條件，B必須在A的極線上，否則k_BP+k_BQ不是定值），求k_BP+k_BQ。

設PQ交A的極線於R，則根據極線的定義，P、Q、A、R構成調和點列⇒S、T、A、U也是調和點列⇒

⇒

⇒

。

反過來，若已知k_BP+k_BQ為定值，可以令

，得到定直線AB，AB與A的極線交點就是所求的B。

斜率之積為定值的題目則沒有太大限制，因為在射影幾何中，二次曲線的分類由二次曲線和無窮遠直線的位置來決定，即通過平移無窮遠直線的方式可以讓一條二次曲線變成橢圓（和無窮遠直線相離）、拋物線（和無窮遠直線相切），或雙曲線（和無窮遠直線相交）。既然平移的是無窮遠直線，二次曲線本身無變化，所以可以只以橢圓來探討其背後的道理。

圓是特殊的橢圓，即圓通過仿射變換可以變成橢圓，所以先研究圓。

（1）兩條動直線交點為圓上的某個定點

如圖，AB是圓的一條直徑，從圓上的定點A引出兩條弦AP、AQ。若PQ過AB上的定點M，則k_APk_AQ為定值。反之，若k_APk_AQ為定值，則PQ經過定點M。

利用三角形面積公式，

。

當AB為x軸時，tanαtanβ恰好就是k_APk_AQ。所以當M為定點時，左邊比值為定值，所以右邊k_APk_AQ為定值。反過來，當k_APk_AQ為定值時，左邊的比值也是定值，於是由定比分點座標公式可知M為定點。

（2）兩條動直線交點為不在圓上的某個定點

與上一種情況有別，這種情況下是過不在圓上的定點M作一條直線交圓錐曲線於兩個點P、Q，N為定點（不在圓錐曲線上）。連接PN、QN交圓於S、T，則直線ST過定點。

乍一看似乎與斜率之積無關，其實不然。證明這個結論需要用到第一種情況。

如圖，AB是圓的直徑，M、N在AB上，各個交點已經在圖中標註好。

為了證明ST過定點（設為K），則只需要證明

為定值。

而

根據第一種情況的結論，直線PS、QT過定點N，而PQ過定點M⇒分子分母都為定值⇒ST過定點K。

反過來是不成立的，即無法從PQ過定點M，ST過定點K推出PS、QT交於定點N。這是因為雖然上式中分母和分數值是定值，所以分子也是定值。然而分子是兩個數之積，每個因數都可以發生變化，只要相乘不變即可，所以PS和QT都不一定經過定點。

注意：上面的定點M和N都可以不在圓內，可以在直線AB上的任意一個位置（除A、B外），證明相仿，結論相同。

另外，當圓拉伸為橢圓，例如把圓的縱座標變為原來的t（t≠0）倍時，由於單比是仿射變換不變量，所以（1）中BM/AM不變。而k_AP'=tk_AP，k_AQ‘=tk_AQ，所以有

不變。

根據橢圓的第三定義，

為定值。而如果M是定點，則k_APk_AQ為定值，所以得到k_BPk_AQ為定值。反之如果k_BPk_AQ為定值，那也有PQ過定點M。

這是斜率之積為定值情況（2）的重要推論，即在圖中有

為定值。

證明十分簡單，設直線PQ與ST交於點R，過R作RH⊥AB，垂足為H。

根據圓錐曲線內接四邊形的性質可知R在N的極線l上。且因為N在AB上，有l⊥AB，所以RH恰好就是N的極線。因為無論R如何變化，垂足H都是不變的。而k_PQ=HR/MH，k_ST=HR/KH，所以有

。

K、M、H均為定點，所以比值為定值。

CGY-EH定理（又稱圓錐曲線硬解定理）是一套求解橢圓\雙曲線與直線相交時∆、 x1+x2 、x1* x2、y1+y2、y1*y2 及相交弦長的簡便算法.

若曲線

與直線Aχ+By+C=0相交於E、F兩點,則:

其中

; △‘為一與△同號的值，

。

應用該定理於橢圓

時,應將

代入。

應用於雙曲線

時,應將

代入,同時

不應為零,即ε不為零。

求解y1+y2與 y1*y2只須將A與B的值互換且m與n的值互換.可知ε與∆'的值不會因此而改變。

聯立曲線方程與y=kx+

是現行高考中比聯立”Ax+By+C=0“更為普遍的現象。其中聯立後的二次方程是標準答案中必不可少的一項，x1+x2，x1x2都可以直接通過該方程與韋達定理求得，唯獨弦長的表達式需要大量計算。這裏給出一個CGY-EH的斜率式簡化公式，以減少記憶量，以便在考試中套用。

若曲線

與直線y=kx+

相交於E、F兩點,則:

這裏的

既可以是常數，也可以是關於k的代數式。由這個公式我們可以推出：

若曲線

為橢圓

,則

若曲線

為雙曲線

,則

由於在高考中CGY-EH定理不可以直接應用，所以學生如此解答才可得全步驟分（省略號的內容需要考生自己填寫）：

聯立兩方程得……（二次式子）（*）

所以x1+x2=……①，x1x2=……②；

所以|x1-x2|=√（x1+x2）^2-4x1x2=……（此時代入①、②式得到一個大式子，但不必化簡）

化簡得|x1-x2|=

(偷偷地直接套公式，不必真化簡)

下面就可求弦長

了。

設曲線x^2/m+y^2/n=1①與直線 Aχ+By+C=0②相交於E、F兩點，聯立①②式可得最終的二次方程：

(A^2 m+B^2 n) x^2+2ACmx+C^2 m-mnB^2=0

應用韋達定理，可得:

x_1+x_2=(-2ACm)/(A^2 m+B^2 n)

x_1 x_2=(m(C^2-B^2 n))/(A^2 m+B^2 n)

∆=4mnB^2 (ε-C^2)

對於等價的一元二次方程∆的數值不唯一,且 ∆的意義僅在於其與零的關係,故由4B^2>0恆成立,則可取與∆同號的∆'=mn(ε-C^2)作為∆的值。

由|EF|=√(〖(x_1-x_2)〗^2+〖(y_1-y_2)〗^2 )=√((1+A^2/B^2 )[〖(x_1+x_2)〗^2-4x_1 x_2 ] )

可得|EF|=√((A^2+B^2)4mn(A^2 m+B^2 n-C^2))/(|A^2 m+B^2 n|)

令ε=A^2 m+B^2 n 則得到CGY-EH定理:

x_1+x_2=(-2ACm)/ε ; x_1 x_2=(m(C^2-B^2 n))/ε ; ∆'=mn(ε-C^2) ; |EF|=(2√((A^2+B^2)∆'))/(|ε|)

圓錐曲線包括橢圓、拋物線、雙曲線和圓，通過直角座標系，它們又與二次方程對應，所以，圓錐曲線又叫做二次曲線。圓錐曲線一直是幾何學研究的重要課題之一，在我們的實際生活中也存在着許許多多的圓錐曲線。

我們生活的地球每時每刻都在環繞太陽的橢圓軌跡上運行，太陽系其他行星也如此，太陽則位於橢圓的一個焦點上。如果這些行星運行速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運行。人類發射人造地球衞星或人造行星就要遵照這個原理。相對於一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一物體的運動，不可能有任何其他的軌道了。因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構成了我們宇宙的基本形式。

由拋物線繞其軸旋轉，可得到一個叫做旋轉物面的曲面。它也有一條軸，即拋物線的軸。在這個軸上有一個具有奇妙性質的焦點，任何一條過焦點的直線由拋物面反射出來以後，都成為平行於軸的直線。這就是我們為什麼要把探照燈反光鏡做成旋轉拋物面的道理。由雙曲線繞其虛軸旋轉，可以得到單葉雙曲面，它又是一種直紋曲面，由兩組母直線族組成，各組內母直線互不相交，而與另一組母直線卻相交。人們在設計高大的立塔（如冷卻塔）時，就採取單葉雙曲面的體形，既輕巧又堅固。

由此可見，對於圓錐曲線的價值，無論如何也不會估計過高。

從橢圓一個焦點發出的光，經過橢圓反射後，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上。

從雙曲線一個焦點發出的光，經過雙曲線反射後，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上。

從拋物線的焦點發出的光，經過拋物線反射後，反射光線都平行於拋物線的對稱軸。

一束平行光垂直於拋物線的準線，向拋物線的開口射進來，經拋物線反射後，反射光線匯聚在拋物線的焦點。

如圖所示為圓錐曲線中橢圓的應用——回聲山谷。在西方某些橢圓穹頂的大教堂裏也有這種現象。

圓錐截面在天文學中是重要的：根據牛頓萬有引力定律相互作用的兩個巨大物體的軌道是圓錐截面，如果它們的共同質心被認為是靜止的。如果它們綁定在一起，它們將跟蹤橢圓;如果他們分開，他們將會跟隨拋物線或雙曲線。看到兩體問題。

對於古生物學中的某些化石，瞭解圓錐截面可以幫助瞭解某些生物體的三維形狀。

圓錐截面的反射特性用於探照燈，射電望遠鏡和一些光學望遠鏡的設計 ^[5]  。使用拋物面鏡作為反射器，在探照燈下使用焦點上的燈泡。在加那利羣島拉帕爾馬的4.2米赫歇爾光學望遠鏡使用主要的拋物面鏡將光反射到次級雙曲面鏡，這反映了它再次成為第一鏡後面的焦點。