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射影

射影是一個存在於數學及物理學中的概念，存在於集合論、線性代數、幾何學以及拓撲學等諸多理念中。在平面幾何中，與一個圖形相似的圖形叫做這個圖形的射影。^[1]

射影是幾何學術語，射影幾何用來研究圖形的射影性質，即圖形經過射影變換不變的性質，也叫做投影幾何學。在經典幾何學中，射影幾何處於一種特殊的地位，通過可以把其他幾何聯繫起來。

射影歷史

射影幾何的某些內容在公元前就已經發現了，基於繪圖學和建築學的需要，古希臘幾何學家就開始研究透視法，也就是投影和截影。但直到十九世紀才形成獨立體系，並趨於完備。^[2]

1822年法國數學家彭賽列發表了射影幾何的第一部系統著作。他是認識到射影幾何是一個新的數學分支的第一個數學家。

射影幾何學在航空、測量、繪圖、攝影等方面有廣泛的應用。

設單位向量e是直線m的方向向量，向量AB=a，作點A在直線m上的射影A'，作點B在直線m上的射影B'，則向量A'B'叫做AB在直線m上或在向量e方向上的正射影，簡稱射影。^[2]

向量A'B'的模∣A'B'∣=∣AB∣·∣cos〈a，e〉∣=∣a·e∣。

正射影像的數量又稱正投影。

定義1：自點P向直線a引垂線所得到的垂足Q叫做點P在直線a上的射影。^[1]

平面中，過一點（直線上或直線外）有且只有一條直線與已知直線垂直，其垂足唯一，故點在直線上的射影唯一，故定義合理。

定義2：自點P向平面α引垂線所得到的垂足Q叫做點P在平面α上的射影。

空間中，過一點（平面上或平面外）有且只有一條直線與已知平面垂直，其垂足唯一，故點在平面上的射影唯一，定義合理。

三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那麼它也和這條斜線垂直。

定義3：如果圖形F上的所有點在一平面上的射影構成的圖形F' ，則 F' 叫做圖形F在這個平面上的射影。

由定義1與定義2的説明可知，圖形在平面上的射影是唯一的。^[2]

特別地，直線在平面上的射影的情況：

情況1：直線平行於平面

任取直線上兩點，分別做平面垂線，連接平面內兩個垂足，連成的直線就是直線在平面上的射影。

情況2：直線與平面斜交

任取直線上平面外一點，做平面垂線，連接垂足和斜足所得到的直線，就是直線在平面上的射影。

情況3：直線與平面垂直

此時直線上的點在平面上的射影都是同一點——垂足，故垂足就是直線在平面上的射影。

參考資料

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