橢圓函數

橢圓函數是定義在有限複平面上亞純的雙週期函數。它和橢圓曲線存在密切關係。所謂雙週期函數是指具有兩個基本週期的單複變函數 ，即存在

，

兩個非0複數，而對任意整數n，m，有

，

於是

構成f（z）的全部週期。

在複平面上任取一點a，以a，a+ω1，a+ω1+ω2 ，a+ω2為頂點的平行四邊行的內部 ，再加上兩個相鄰的邊及其交點 ，這樣構成的一個半開的區域稱為

f(z)的一個基本週期平行四邊形，將它平行移動nω1+mω2，當n，m取遍所有整數時，即得一覆蓋整個複平面的週期平行四邊形網，f(z) 在每一個週期平行四邊形中的性質都和它在基本週期平行四邊形中的一樣。

如果複平面上兩個點在平移到同一個基本週期四邊形後重合，我們就把它們粘合成一個點， 經過這樣一系列操作之後，我們就得到複平面粘合後的一個商空間， 即著名的橢圓曲線， 它也是一個虧格1的緊的閉曲面。 於是上面的橢圓函數就直接定義在橢圓曲線上。

在基本週期平行四邊形中，f(z)有以下性質：非常數橢圓函數一定有極點，且極點留數之和必為零 ，因而不可能只有一個一階極點 ，有n個極點的橢圓函數稱為n階橢圓函數 ，它在基本週期平行四邊形內取任一值n次，即對任意複數A，f(z)－A在基本週期平行四邊形內有且僅有n個零點 ，且f(z) 的零點之和與極點之和的差必等於一個週期。

任何討論橢圓函數的歷史發展必先詳盡地考察18世紀的橢圓積分 這個結果來自18世紀數學家們的努力 是為了表達橢圓和雙曲線的弧長 橢圓和雙曲線可求長的問題引起了 18 世紀一流數學家的注意力 18世紀關注並對橢圓積分做出貢獻的數學家有 約翰 伯努利 ，法尼亞諾， 蘭登，拉格朗日，最突出的貢獻是歐拉的橢圓積分的加法定理和蘭登變換但總的説來 這些成就還是比較分散零星，直到18世紀後半期和19世紀 數學史上從勒讓德對橢圓積分的全面論述開始 勒讓德的著作 橢圓函數論 給數學史家留下深刻印象 其中出現了人們熟知的三種橢圓積分的勒讓德正規形式 到雅可比和阿貝爾的橢圓函數發生了很大的一個飛躍，這個飛躍包含了橢圓積分的反演。

雅可比建立的橢圓函數理論極大地擴充了數學領域 特別是與複分析的結合不斷有更廣泛的理論統一了橢圓函數理論，同時也成為實際應用中有力的工具 這與雅可比建立橢圓函數理論的思想密不可分，從雅可比奠基性的工作中可以清楚地理出這一數學分支的發展脈絡及其承前啓後的作用 ^[1]  。

它表作

f(z)=∑`1/(z-ω)^2，

其中ω=2nω1+2mω2，∑`表n，m取遍全部整數之和 ，但要除去ω=0的情形 。這是一個二階橢圓函數 ，在週期平行四邊形中 ，僅有一個ω是二階極點。可以證明，所有的橢圓函數都可以用δ（z）函數來表示 ，而每一個橢圓函數都一定滿足一個常係數一階的代數微分方程。

它定義為橢圓積分的反函數 。

一類橢圓積分：

的反函數是雙週期的亞純函數，記作

w=sn(z)=sn(z,k)

它具有基本週期：

統稱雅可比橢圓函數，它們都是二階橢圓函數。