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雙週期函數
鎖定
雙週期函數定義
復變量函數中有單週期函數和雙週期函數。單週期函數可以看作是第二個週期為無窮大的雙週期函數。而三週期或更多週期的函數是不存在的,因為複平面是實數域的二維向量空間,所以不可能有三個或更多個線性獨立的向量(複數)。
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給定雙週期函數f,對每個複數z,可以確定函數值等於f(z)的複數包括如下集合:
,其中的
表示整數集。這個集合N(z)在平面上呈一個網格狀的結構,將複平面劃分為一個個平行四邊形形狀的格子,稱為單元格。雙週期函數的定義表明,函數在每個單元格中有相同的形狀。
雙週期函數例子
如果將雙週期函數直觀地作為二維平面上的一類實值函數來看待的話,很容易就能構造出雙週期函數的例子。比如,如果將“1”和“i”作為週期,那麼對應的網格是以平面上所有的“整點”(橫座標和縱座標都是整數的點)為節點的正方形網格。只需要定義函數在一個正方形單位上的取值,然後再“逐格複製”就可以了。例如函數:
從例子中可以看出,定義一個雙週期函數,只需要定義它在一個單元格里的取值就可以了。如果u和v是雙週期函數f的週期,那麼只需要定義f在集合:
雙週期函數函數舉例
雙週期函數性質
設單元格Df的邊界為Bf。Bf由四條首尾相連的直線段構成:
沿着雙週期函數單元格的環路積分。
由於雙週期函數f在兩條平行邊上的取值一樣(週期性),如果以Bf為路徑對函數f進行環路積分,積分值會是0:
如果f是全純函數,那麼可以證明,f是常數函數:f≡ C. 這是因為f在單元格上的取值是必定是有界的(單元格是緊集),所以根據雙週期性可知f在整個平面上都是有界的函數。因此根據劉維爾定理,f是常數函數。
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如果f是橢圓函數,那麼根據留數定理,f在單元格內極點的留數之和等於0,這説明f在單元格里不可能只有一個一階極點。要麼有一個留數是0的高階極點,要麼有多於一個一階極點。
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同樣地,對橢圓函數函數1/f使用留數定理,可以證明f在單元格里不可能只有一個一階零點。要麼有一個高階零點,要麼有多於一個一階零點。更進一步地,可以證明f在單元格內取得每個值的次數等於它在單元格內的階數(橢圓函數在某個區域內的階數等於它的所有極點的階數和)。
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- 參考資料
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- 1. Nico M. Temme. Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics. John Wiley & Sons. 2011. ISBN 9781118030813
- 2. Michael T. Vaughn. Introduction to Mathematical Physics. John Wiley & Sons. 2008. ISBN 9783527618866
- 3. Gareth A. Jones. Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint. Cambridge University Press. 1987. ISBN 9780521313667
- 4. Anatolij T. Fomenko, Aleksej A. Tužilin. Elements of the Geometry and Topology of Minimal Surfaces in Three-Dimensional Space. American Mathematical Soc. 2005. ISBN 9780821898345