劉維爾定理

如果整函數

在整個平面上有界，即對所有

滿足不等式

，則

必為常數。

可簡單描述為：一個有界的整函數必是常函數。

注：(1) 定理內容在實數範圍內不成立；

(2) 定理的逆命題成立，即常數是有界常函數。

設

是平面上任一點，對以

為中心，任意正數

為半徑的圓周，利用柯西不等式，得：

而且，由於

可以任意大，所以，必有

，即

，由於點

是任意的，故

必為常函數。 ^[1] 

一、逆否命題：非常數的整函數必無界。 ^[2] 

二、若

為有界整函數，則：

(1)

的逆也為有界整函數

(2)

，

(3)

為常數

三、幾何意義

非常數整函數

的值既不能全含於某一圓內，也不能全含於某一圓外。

劉維爾定理作為複變函數的基本定理之一，有着廣泛的應用，可以直接或間接的證明推導出很多其他的定理：如代數學基本定理，複平面C上的最大模原理等等，是一種有效的證明手段。

例 ^[2]  ：設整函數

且存在實數

，使得

，則

為常數。

證明：∵

為整函數

∴

也為整函數

取：

，則

也為整函數

又∵

由劉維爾定理可知

為常數

∴

也為常數，得證