週期函數

設f（x）是定義在數集M上的函數，如果存在非零常數T具有性質：f（x+T）=f（x），則稱f（x）是數集M上的週期函數，常數T稱為f（x）的一個週期。如果在所有正週期中有一個最小的，則稱它是函數f（x）的最小正週期。

由定義可得：週期函數f（x）的週期T是與x無關的非零常數，且週期函數不一定有最小正週期，譬如狄利克雷函數。 ^[1] 

週期函數的性質 ^[2]  共分以下幾個類型：

（1）若T（≠0）是f（x）的週期，則-T也是f（x）的週期。

（2）若T（≠0）是f（x）的週期，則nT（n為任意非零整數）也是f（x）的週期。

（3）若T1與T2都是f（x）的週期，則T1±T2也是f（x）的週期。

（4）若f（x）有最小正週期T*，那麼f（x）的任何正週期T一定是T*的正整數倍。

（5）若T1、T2是f（x）的兩個週期，且T1/T2是無理數，則f（x）不存在最小正週期。

（6）週期函數f（x）的定義域M必定是至少一方無界的集合。 ^[2] 

週期函數定理，一共分以下幾個類型。

若f（x）是在數集M上以T*為最小正週期的週期函數，則K f（x）+C（K≠0）和1/ f（x）分別是集M和集{X/ f（x） ≠0，X ∈M}上的以T*為最小正週期的週期函數。

證：

∵T*是f（x）的週期，∴對 有X±T* 且f（x+T*）= f（x），∴K f（x）+C=K f（x+T*）+C，

∴K f（x）+C也是M上以T*為週期的週期函數。

假設T* 不是Kf（x）+C的最小正週期，則必存在T’（0<T’<T*）是K f（x）+C的週期，則對T’（0<T’<T*）是K f（x）+C的週期，有K f（x+T’）+C=K f（x） +C ，K[f（x+T’）- f（x）]=0，∵K≠0，∴f（x+T’）- f（x）=0，∴f（x+T’）= f（x），

∴T’是f（x）的週期，與T*是f（x）的最小正週期矛盾，∴T*也是K f（x）+C的最小正週期。

同理可證1/ f（x）是集{X/ f（x） ≠0，X }上的以T*為最小正週期的週期函數。 ^[1] 

若f（x）是集M上以T*為最小正週期的週期函數，則f（ax+b）是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a為最小正週期的週期函數，（其中a、b為常數）。

證：

先證f（ax+b）的週期。

∵T*是f（x）的週期，∴f（x±T*）=f（x），有X±T*∈M，以ax+b替換x得，f（ax±T*+b）=f（ax+b），此時ax+b∈M，提取a為公因式得，f[a（x+T*/a）+b]=f（ax+b）∴T*/a是f（ax+b）的週期。

再證是f（ax+b）的最小正週期。

假設存在T’/a（0<T’<T*；）是f（ax+b）的週期，則f（a（x+T’/a）+b）=f（ax+b），用x/a-b/a替換x，得f（x+T’）=f（x）

∴T’是f（x）的週期，但 T’<T*這與T*是f（x）的最小正週期矛盾。

∴不存在T’/a（0<T’<T*；）是f（ax+b）的週期，即f（ax+b）的最小正週期為T*/ a。 ^[1] 

設f（u）是定義在集M上的函數，u=g（x）是集M1上的週期函數，且當X∈M1時，g（x）∈M，則複合函數f（g（x））是M1上的週期函數。

設T是u=g（x）的週期，則 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g（x）∴f（g（x+T））=f（g（x））

∴=f（g（x））是M1上的週期函數。

設=f（u）=u2是非週期函數，u= g（x）=cosx是實數集R上的週期函數，則f（g（x））=cos2x是R上的週期函數。

同理可得：⑴f（x）=Sin（cosx），⑵f（x）=Sin（tgx），⑶f（x）=Sin2x，⑷f（n）=Log2Sinx（sinx>0）也都是週期函數。

f(n)=Sinn是週期函數，n=g(x)=ax+b(a≠0）是非週期函數，f(g(x))=Sin(ax+b)是週期函數（中學數學中已證）。

f(n)=cosn是週期函數，n=g(x)= （非週期函數）而f(g(x))=cos 是非週期函數。

證：假設cos 是週期函數，則存在T>0使cos （k∈Z） 與定義中T是與X無關的常數矛盾，

∴cos 不是週期函數。

由例2、例3説明，若f(u)是週期函數，u= g（X）是非週期函數，這時f（g（x））可能是，也可能不是週期函數。 ^[1] 

設f1（x）、f2（x）都是集合M上的週期函數，T1、T2分別是它們的週期，若T1/T2∈Q則它們的和差與積也是M上的週期函數，T1與T2的公倍 數為它們的週期。 ^[1] 

設 （（p·q)=1）設T=T1q=T2p，則有：有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X）±f2(X) ，∴f1(X) ±f2（X）是以T1和T2的公倍數T為週期的週期函數。同理可證：f1（x）、f2（x）是以T為週期的週期函數。

設f1（x） 、f2（x）……fn（x） 是集合M上的有限個週期函數T1、T2……Tn分別是它們的週期，若， … （或T1，T2……Tn中任意兩個之比）都是有理數，則此n個函數之和、差、積也是M上的週期函數。

f（x）=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍數2π為週期的週期函數。

討論f(X)= 的週期性。

解：2tg3 是以T1= 為最小正週期的週期函數。

5tg 是以T2 為最小正週期的週期函數。

tg2 是以T3=為最小正週期的週期函數。

又都是有理數

∴f（x）是以T1、T2、T3最小公倍數（T1、T2、T3）=為最小正週期的週期函數。

同理可證：

⑴f（x）=cos ；

⑵f（x）=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是週期函數。

設f1（x）=sin a1x，f2（x）=cos a2x，則f1（x）與f2（x）之和、差、積是週期函數的充要條件是a1/a2∈Q。

證：

若a1/a2∈Q，設T1、T2分別為f1（x）與f2（x）的最小正週期 ，由定理4，可得f1（x）與f2（x）之和、差、積是週期函數。

再證必要性（僅就f1（x）與f2（x）的差和積加以證明）。

⑴設sina1x-cosa2x為週期函數，則必存在常數T>0，

使sina1（x+T）-sina1x=cosa2（x+T）-cosa2x 2cos（a1x+T）sin = -2sin（a2x+T）sin ⑴。

令x= 得2cos（a1x+T），則 （K∈Z）。⑵

或 C∈Z⑶

又在⑴中令 2sin（a2x+T)sin =-2sin =0

由⑷

由sin ⑸

由上述⑵與⑶，⑷與⑸都分別至少有一個成立。

由⑶、⑸得⑹

∴無論⑵、⑷、⑹中那一式成立都有a1/a2。

⑵設sinaxcosa2x為週期函數，則 是週期函數。 ^[1] 

週期函數的判定方法分為以下幾步：

（1）判斷f（x）的定義域是否有界；

例：f（x）=cosx（≤10）不是週期函數。

（2）根據定義討論函數的週期性可知非零實數T在關係式f（x+T）= f（x）中是與x無關的，故討論時可通過解關於T的方程f（x+T）- f（x）=0，若能解出與x無關的非零常數T便可斷定函數f（x）是週期函數，若這樣的T不存在則f（x）為非週期函數。

例：f（x）=cosx^2 是非週期函數。

（3）一般用反證法證明。（若f（x）是週期函數，推出矛盾，從而得出f（x）是非週期函數）。

例：證f（x）=ax+b（a≠0）是非週期函數。

證：假設f（x）=ax+b是週期函數，則存在T（≠0），使之成立 ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0，aT=0 又a≠0，∴T=0與T≠0矛盾，∴f（x）是非週期函數。

例：證f（x）= ax+b是非週期函數。

證：假設f（x）是週期函數，則必存在T（≠0）對 ，有（x+T）= f（x），當x=0時，f（x）=0，但x+T≠0，∴f（x+T）=1，∴f（x+T） ≠f（x）與f（x+T）= f（x）矛盾，∴f（x）是非週期函數。 ^[1]