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雅可比橢圓函數

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雅可比橢圓函數是雙週期的亞純函數，屬於橢圓餘弦橢圓正切，與圓函數（三角函數）相似。
中文名
雅可比橢圓函數
外文名
Jacobian elliptic function
反函數
雙週期的亞純函數
分    類
橢圓餘弦橢圓正切
關    係
與圓函數（三角函數）相似
學    科
數理科學

目錄

  1. 1 雅可比橢圓函數的定義
  2. 2 雅可比橢圓函數的性質
  1. 3 加法定理
  2. 4 函數的平方之間的關係
  3. 5 反函數
  1. 6 用Θ函數來定義
  2. 7 常微分方程的解[編輯]

雅可比橢圓函數雅可比橢圓函數的定義

雅可比橢圓函數有十二種，各對映到某個矩形的頂點連線。此諸頂點記作
。
視此矩形為複數平面的一部分，
是原點，
是實軸上的一點
是
，
是
。
與
稱作四分之一週期。
十二個橢圓函數分別記為
。為方便起見，取變數
意指矩形上的任一對頂點，則函數
是滿足以下性質的週期亞純函數:
是單零點，
是單極點。
在
方向的週期等於
距離的兩倍。對另兩個從
出發的方向，
亦滿足同樣性質。
在頂點
的展式首項係數均為一。
表列如次：
函數
週期
零點
極點
留數
與
是整數

一般而言，須以平行四邊形代替上述矩形，以考慮更一般的週期。

雅可比橢圓函數雅可比橢圓函數的性質

特殊點的值
z
0
K/2
K
iK'/2
K+iK'/2
iK'
K+iK'
sn(z)
0
(1+k'^2)^(-1/2)
1
ik^(-1/2)
k^(-1/2)
∞
1/k
cn(z)
1
sqr(k'/(1+k'))
0
sqr((k+1)/k)
-sqr((k-1)/k)
∞
-ik'/k
dn(z)
1
k'^(1/2)
k'
sqr(1+k)
sqr(1-k)
∞
0
sn(mK+niK±z)誘導公式表
╲m
n╲
-1
0
1
2
2p
-1
-dn(z)/(k*cn(z))
±1/(k*sn(z))
dn(z)/(k*cn(z))
負正1/(k*sn(z))

0
-cn(z)/dn(z)
±sn(z)
cn(z)/dn(z)
負正sn(z)

1
-dn(z)/(k*cn(z))
±1/(k*sn(z))
dn(z)/(k*cn(z))
負正1/(k*sn(z))

2
-cn(z)/dn(z)
±sn(z)
cn(z)/dn(z)
負正sn(z)

2q




(-1)^p*sn(z)
cn(mK+niK±z)
╲m
n╲
-1
0
1
2
2p
-1
-(ik')/(kcn(z))
±(idn(z))/(ksn(z))
(ik')/(kcn(z))
負正(idn(z))/(ksn(z))

0
±(k'sn(z))/dn(z)
cn(z)
負正(k'sn(z))/dn(z)
-cn(z)

1
(ik')/(kcn(z))
負正(idn(z))/(ksn(z))
-(ik')/(kcn(z))
±(idn(z))/(ksn(z))

2
負正(k'sn(z))/dn(z)
-cn(z)
±(k'sn(z))/dn(z)
cn(z)

2q




(-1)^(p+q)*cn(z)
dn(mK+niK±z)
╲m
n╲
-1
0
1
2
p
-1
負正(ik'sn(z))/cn(z)
±(icn(z))/sn(z)
負正(ik'sn(z))/cn(z)
±(icn(z))/sn(z)

0
k'/dn(z)
dn(z)
k'/dn(z)
dn(z)

1
±(ik'sn(z))/cn(z)
負正(icn(z))/sn(z)
±(ik'sn(z))/cn(z)
負正(icn(z))/sn(z)

2
-k'/dn(z)
-dn(z)
-k'/dn(z)
-dn(z)

q




(-1)^q*dn(z)
基本關係
可見，雅可比橢圓函數的關係與圓函數（三角函數）相似 [1]  。

雅可比橢圓函數加法定理

由此可見 (cn,sn,dn) 描出射影空間
中兩個二次曲面之交，這同構於一條橢圓曲線。曲線上的羣運算由下列加法公式描述：

雅可比橢圓函數函數的平方之間的關係

雅可比橢圓函數反函數

雅可比橢圓函數用Θ函數來定義

雅可比橢圓函數也可以用Θ函數來定義。如果我們把
簡寫為
，把
分別簡寫為
（Theta常數），那麼橢圓模k是
。如果我們設
，我們便有 [2]  ：

雅可比橢圓函數常微分方程的解[編輯]

三個基本的雅可比橢圓函數的導數為：
根據以上的加法定理，可知它們是以下非線性常微分方程的解 [3]  ：
是微分方程
和
的解；
是微分方程
和
的解；
是微分方程
和
的解 [4]  。
參考資料
  • 1.    E. T. Whittaker and G. N. Watson A Course of Modern Analysis, (1940, 1996) Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3
  • 2.    Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
  • 3.    A. C. Dixon The elementary properties of the elliptic functions, with examples (Macmillan, 1894)
  • 4.    Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. 1972. ISBN 0-486-61272-4. 見 第16章