-
收斂級數
鎖定
收斂級數預備知識
數項級數的定義
數項級數的前n項和
部分和數列
收斂級數定義
收斂級數基本性質
收斂級數性質1
設 k 為常數，如果級數
收斂於
，則級數
也收斂，且收斂於
。
證明：設級數
和
的部分和分別為
，
則有
，
於是
，這就表明級數
也收斂，且收斂於
。
收斂級數性質2
如果級數
、
分別收斂於
，則級數
也收斂，且收斂到
。
證明：設級數
與
的部分和分別為
，
則級數
的部分和為
，
於是
，這就表明了級數
收斂，且收斂於
。
收斂級數性質3
在級數中去掉、加上或改變有限項，不會改變級數的收斂性。
證明：我們只需證明“在級數的前面部分去掉、加上有限項，不會改變級數的收斂性”，因為其他情形（即在級數中去掉、加上或改變有限項的情形）都可以看成在級數的前面部分先去掉有限項，然後再加上有限項的結果。
以去掉k項為例，設級數為
，
去掉前 k 項，得到新的級數
，
記原級數前 k+n 項的和為
，前 k 項和為
，去掉前 k 項得到的新級數的前 n 項和為
，
則有
。
易得當
時，
與
同時有極限，或者同時沒有極限，
即級數
與
同時收斂或同時發散。
在級數中去掉、加上或改變有限項，不會改變級數的收斂性。比如我改變的是u1,u3,u5,u7,……,u999,u1001，可以看成去掉了從u1,u2,u3,……,u999,u1000,u1001這1001項，然後添加了u1,u3,u5,u7,……,u9999,u1001。級數的收斂性並沒有發生改變。
收斂級數性質4
若級數
收斂，則對此級數的項任意加括號後所得的級數
仍然收斂，且其和不變。
證明：設級數
的前 n 項部分和
，加括號後所成的級數的前 k 項的和為
，則有：
...
可見，數列
是數列
的一個子數列。由數列
的收斂性以及收斂子列與其子列的關係可知：數列
必定收斂，且有
。這説明了加括號後所成的級數收斂，且其和不變。
收斂級數性質5
收斂級數級數收斂性
等比級數（幾何級數）
等比級數 ：
（1）當
時，
收斂，且收斂於
；
p級數
p級數：
（1）當 p>1 時，
收斂；
